矩阵的等价，相似，合同，正定判定和关系

理解伴随矩阵

在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。

如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

矩阵等价（秩等）

定义：如果这两个矩阵满足B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵（P、Q)，使得A经过有限次的初等变换得到B

充要条件：A和B的秩相等

补充：

向量组AB等价（r(A)=r(B)=r(AB)；可以相互线形表示；极大线形无关组同）

向量等价：

向量组A，B可以相互线形表示；

但是注意：向量组秩同不能退出向量组等价；

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转置理解：

行列式简单理解：奇异矩阵和非奇异矩阵 行列式矩阵简单理解 代数意义 几何意义 行列式的定义： 二阶行列式的几何意义： 三阶行列式的几何意义： 行列式化为对角形的几何解释： 二阶行列式乘积项的几何意_ZhangJiQun.的博客-CSDN博客；

• 就是关于x=y对称的同体，二维是关于y=x 对称的平面图形，三维是关于f(x,y)=x-y 对称的 立方体或者图形，但是面积体积不会变的（行列式几何意义）
• 以此类推|A转置|=|A|:可是用行列式值对的意义理解： 二维代表围成面积，三维代表体积，四维代表超立方体体积以此类推......转置对应的体的体不变 。

矩阵合同（若对称，正负惯性指数分别相等则合同，A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同）

1、设A，B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。

2、设A，B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负的个数对应相等）。

定义：对同型方阵A、B，存在可逆阵P使得B=PTAPB=PTAP

矩阵相似

比等价严苛

定义：对同型方阵A、B，存在可逆阵P，使得B=P−1APB=P−1AP

三者关系：

等价（只有秩相同）–>合同（秩和正负惯性指数相同）–>相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同），矩阵亲密关系的一步步深化。（正惯性指数：属于数学学科，简称正惯数，是线性代数里矩阵的正的特征值个数，也即是规范型里的系数"1"的个数。实二次型的标准形中，系数为正的平方项的个数为二次型的正惯性指数。）

相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵

PQ=EPQ=E 的等价矩阵是相似矩阵

合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵

正惯性指数相同的等价矩阵是合同矩阵

合同矩阵未必是相似矩阵

相似矩阵未必合同

正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵

如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A与B既相似又合同

矩阵相似：

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正定判定：

1 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A可以合同于一个主对角元全为正数的对角矩阵

2 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全大于零

3 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的所有顺序主子式的值全大于零

4 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的正惯性指数p= n

5实对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于E. 同1，是  1 的特例。

6。定义法（函数 f>0）

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