文章目录
一、 集合论体系
二、 集合表示
三、 数集合
三、 集合关系
1、 包含关系
2、 相等关系
3、 集合间包含关系性质
一、 集合论体系
集合论体系 :
朴素集合论 : 包含悖论 ; 朴素集合论 中 不能精确定义集合 ;
公理集合论 : 为了消除朴素集合论中的悖论 , 所建立的公理集合论 ; 公理集合论比较严密 , 通过一组公理描述什么是集合 ;
二、 集合表示
集合表示 : 使用 大写字母 表示集合 , 小写字母 表示集合中的元素 ;
列举法 : 列举出集合中的所有元素 , 元素之间使用逗号分开 , 使用花括号 “{}” 括起来 ; 如 : A = { 0 , 1 , 2 , 3 } A = \{0, 1, 2, 3\}A={0,1,2,3} , B = { 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ } B = \{0, 1, 2, 3, \cdots\}B={0,1,2,3,⋯}
描述法 : 使用 谓词 P ( x ) P(x)P(x) 表示 x xx 具有性质 P PP , 使用 { x ∣ P ( x ) } \{x | P(x)\}{x∣P(x)} 表示具有性质 P PP 的集合 ;
P ( x ) P(x)P(x) 表示 x xx 是英文字母 , { x ∣ P ( x ) } \{ x | P(x) \}{x∣P(x)} 表示英文字母集合 ;
P ( x ) P(x)P(x) 表示 x xx 是偶数 , { x ∣ P ( x ) } \{ x | P(x) \}{x∣P(x)} 表示偶数集合 ;
集合表示注意事项 :
不重复 : 集合中 不能有重复元素 ;
无顺序 : 集合中的元素是 无序的 ;
集合表示方法转化 : 集合的表示方法可以互相转化 , 描述法 和 列举法 可以互相转化 ;
表示方法转化示例 :
列举法 : A = { 0 , 2 , 4 , 6 , ⋯ } A=\{ 0, 2, 4 , 6 , \cdots \}A={0,2,4,6,⋯}
描述法 : A = { x ∣ x ≥ 0 并 且 x 是 偶 数 } A = \{ x | x \geq 0 并且 x 是偶数 \}A={x∣x≥0并且x是偶数}
三、 数集合
自然数集合 : N = { 0 , 1 , 2 , ⋯ } N = \{ 0, 1 , 2 , \cdots \}N={0,1,2,⋯}
整数集合 : Z = { 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ } Z = \{ 0, \pm 1 , \pm 2 , \cdots \}Z={0,±1,±2,⋯}
有理数集合 : Q QQ
实数集合 : R RR
复数集合 : C CC
三、 集合关系
集合关系 有 包含关系 , 相等关系 , 另外关系的性质有 自反省 , 反对称性性 , 传递性 ;
1、 包含关系
集合的包含关系 :
描述 : A , B A, BA,B 两个集合 , 如果 B BB 中的元素 都是 A AA 中的元素 , 称 B BB 集合 是 A AA 集合的 子集 , A AA 包含 B BB , B BB 包含于 A AA ;
记作 : B ⊆ A B \subseteq AB⊆A
符号化形式 : B ⊆ A ⇔ ∀ x ( x ∈ B → x ∈ A ) B \subseteq A \Leftrightarrow \forall x ( x \in B \to x \in A )B⊆A⇔∀x(x∈B→x∈A) , 对于所有的对象 , 只要属于 B BB 集合 , 就属于 A AA 集合 ;
集合的不包含关系 :
描述 : 如果 集合 B BB 不是 集合 A AA 的子集
记作 : B ⊈ A B \not\subseteq AB
⊆A ;
符号化形式 : B ⊈ A ⇔ ∃ x ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) B \not\subseteq A \Leftrightarrow \exist x ( x \in B \land x \not\in A )B
⊆A⇔∃x(x∈B∧x
∈A) , 对于所有的对象 , 存在对象属于 B BB 集合 , 不属于 A AA 集合 ;
包含示例 :
A = 1 , 2 , 3 , 4 A = {1, 2, 3, 4}A=1,2,3,4 , B = 1 , 2 , 3 B = {1, 2, 3}B=1,2,3 , C = 1 , 2 C = {1, 2}C=1,2
有 C ⊆ B C \subseteq BC⊆B , C ⊆ A C \subseteq AC⊆A , B ⊆ A B \subseteq AB⊆A
2、 相等关系
集合的相等关系 :
描述 : A , B A, BA,B 两个集合 , 如果 A AA 包含 B BB , 并且 B BB 包含 A AA , 则称 A AA 与 B BB 相等 ;
记作 : A = B A = BA=B
符号化表示 : A = B ⇔ ∀ x ( x ∈ B ↔ x ∈ A ) A = B \Leftrightarrow \forall x ( x \in B \leftrightarrow x \in A )A=B⇔∀x(x∈B↔x∈A)
3、 集合间包含关系性质
集合间包含关系性质 : 下面的 A , B , C A, B, CA,B,C 是三个集合 , 以下的命题是真命题 ;
自反性 : A ⊆ A A \subseteq AA⊆A , 集合真包含它自己 ;
反对称性 : 若 A ⊆ B A \subseteq BA⊆B 且 B ≠ A B \not= AB
=A , 则 B ⊈ A B \not\subseteq AB
⊆A
( 该性质等价于 若 A ⊆ B A \subseteq BA⊆B 且 B ⊆ A B \subseteq AB⊆A , 则 A = B A = BA=B )
传递性 : 若 A ⊆ B A \subseteq BA⊆B 且 B ⊆ C B \subseteq CB⊆C , 则 A ⊆ C A \subseteq CA⊆C
