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一、集合组合、一一对应模型分析示例
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一、集合组合、一一对应模型分析示例
将 2 n 2n2n 个人分成 n nn 组 , 每组 2 22 人 , 有多少种分法 ?
先确定该问题是否是选取问题 , 元素是否重复 , 选取是否有序 ,
不可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 集合的排列
不可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 集合的组合
可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 多重集的排列
可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 多重集的组合
2 n 2n2n 个人 , 人肯定是不重复的 , 分成 n nn 组 , 这里的分组是没有区别的 , 相当于集合的划分 ;
另外还有限制条件 , 每组只能放 2 22 个元素 ;
原始的简单模型 , 如 分类 ( 加法 ) , 分步 ( 乘法 ) , 集合排列 , 集合组合 , 多重集排列 , 多重集组合 , 没有对应的模型 , 无法直接使用 ;
不是简单的选取问题 ;
这里需要考虑 组有区别 , 组没有区别 两种情况 ;
分组有区别的话 , 分成 n nn 组 , 先放第 1 11 组 , 选 2 22 个人 , 再放第 2 22 组 , 选 2 22 个人 , ⋯ \cdots⋯ 这种方案是 可以计算出来的 ;
分组没有区别 , 此时需要观察 分组有区别 和 没有区别 的差别 :
分组没有区别 , 得到一种方法 , 然后对 n nn 个分组进行全排列 , 有 n ! n!n! 种排列方法 , 就得到了分组有区别的方案个数 ;
这里将 分组有区别方案数 与 分组没有区别方案数 建立对应关系 :
分 组 没 有 区 别 方 案 数 × n ! = 分 组 有 区 别 方 案 数 分组没有区别方案数 \times n! = 分组有区别方案数
分组没有区别方案数×n!=分组有区别方案数
分组有区别方案数 是可以计算出来的 , 然后 除以 n ! n!n! , 即可得到 分组没有区别的方案数 ;
分组有区别 , 按照 分步处理 的方案 :
① 第 1 11 步 : 从 2 n 2n2n 个元素中 , 选取 2 22 个元素 , 有 C ( 2 n , 2 ) C(2n , 2)C(2n,2) 种方案 ;
② 第 2 22 步 : 从 2 n − 2 2n - 22n−2 个元素中 , 选取 2 22 个元素 , 有 C ( 2 n − 2 , 2 ) C(2n - 2 , 2)C(2n−2,2) 种方案 ;
③ 第 3 33 步 : 从 2 n − 4 2n - 42n−4 个元素中 , 选取 2 22 个元素 , 有 C ( 2 n − 4 , 2 ) C(2n - 4 , 2)C(2n−4,2) 种方案 ;
⋮ \vdots
⋮
④ 第 n nn 步 : 从 2 n − ( 2 n − 2 ) 2n - ( 2n - 2 )2n−(2n−2) 个元素中 , 选取 2 22 个元素 , 有 C ( 2 n − ( 2 n − 2 ) , 2 ) C(2n - ( 2n - 2 ) , 2)C(2n−(2n−2),2) 种方案 ; 也就是 1 11 种方案 ;
排列组合公式
排列 : P ( n , r ) = n ! ( n − r ) ! P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}P(n,r)=
(n−r)!
n!
组合 : C ( n , r ) = P ( n , r ) r ! = n ! r ! ( n − r ) ! C(n, r) = \dfrac{P(n,r)}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}C(n,r)=
r!
P(n,r)
=
r!(n−r)!
n!
分步处理 需要使用乘法原则 , 将 n nn 步的方案数相乘 :
N = C ( 2 n , 2 ) C ( 2 n − 2 , 2 ) C ( 2 n − 4 , 2 ) ⋯ C ( 2 n − ( 2 n − 2 ) , 2 ) = 2 n ! 2 ! × ( 2 n − 2 ) ! × ( 2 n − 2 ) ! 2 ! × ( 2 n − 4 ) ! ⋯ ( 2 n − ( 2 n − 2 ) ) ! 2 ! × ( 2 n − ( 2 n − 2 ) − 2 ) ! ⏟ n 个 分 步 相 乘 前 后 可 以 约 掉 很 多 阶 乘 = ( 2 n ) ! ( 2 ! ) n
N===C(2n,2)C(2n−2,2)C(2n−4,2)⋯C(2n−(2n−2),2)2n!2!×(2n−2)!×(2n−2)!2!×(2n−4)!⋯(2n−(2n−2))!2!×(2n−(2n−2)−2)!n个分步相乘前后可以约掉很多阶乘(2n)!(2!)n
N=C(2n,2)C(2n−2,2)C(2n−4,2)⋯C(2n−(2n−2),2)=2n!2!×(2n−2)!×(2n−2)!2!×(2n−4)!⋯(2n−(2n−2))!2!×(2n−(2n−2)−2)!⏟n个分步相乘前后可以约掉很多阶乘=(2n)!(2!)n
N
=
=
=
C(2n,2)C(2n−2,2)C(2n−4,2)⋯C(2n−(2n−2),2)
2!×(2n−2)!
2n!
×
2!×(2n−4)!
(2n−2)!
⋯
2!×(2n−(2n−2)−2)!
(2n−(2n−2))!
n个分步相乘
前后可以约掉很多阶乘
(2!)
n
(2n)!
分组有区别的方案个数是 ( 2 n ) ! ( 2 ! ) n \cfrac{(2n)!}{(2!)^n}
(2!)
n
(2n)!
个 ;
根据
分 组 没 有 区 别 方 案 数 × n ! = 分 组 有 区 别 方 案 数 分组没有区别方案数 \times n! = 分组有区别方案数
分组没有区别方案数×n!=分组有区别方案数
公式 ;
分组有区别方案数 是可以计算出来的 , 然后 除以 n ! n!n! , 即可得到 分组没有区别的方案数 ;
最终结果是 ( 2 n ) ! ( 2 ! ) n n ! \cfrac{(2n)!}{(2!)^n n!}
(2!)
n
n!
(2n)!
该问题不是简单的使用 原始的简单模型 , 如 分类 ( 加法 ) , 分步 ( 乘法 ) , 集合排列 , 集合组合 , 多重集排列 , 多重集组合 ;
而是将不可计算的模型 , 对应到一个可计算的模型中 , 然后计算出该模型 的重复度
