文章目录
一、 集族
二、 集族示例
三、 多重集
一、 集族
集族 : 除 P ( A ) P(A)P(A) 幂集之外 , 由 集合构成的集合 , 称为集族 ;
带指标集的集族 : 集族中的集合 , 都赋予记号 , 就是带指标集的集族 ;
A \mathscr{A}A 是一个集族 , S SS 是一个集合
对于任意 α ∈ S \alpha \in Sα∈S , 存在 唯一的 A α ∈ A A_\alpha \in \mathscr{A}A
α
∈A (α \alphaα 是 S SS 中的元素 , A α A_\alphaA
α
是集族 A \mathscr{A}A 中的集合元素 )
并且 A \mathscr{A}A 集族中的任何集合元素 , 都对应 S SS 集合中的某一个元素
称 A \mathscr{A}A 集族 是以 S SS 集合 为指标集的集族
S SS 集合 是 A \mathscr{A}A 集族 的 指标集
记作 : A = { A α ∣ α ∈ S } \mathscr{A} = \{A_\alpha | \alpha \in S \}A={A
α
∣α∈S}
如果将 ∅ \varnothing∅ 看做集族 , ∅ \varnothing∅ 称为 空集族 ;
二、 集族示例
1. 集族示例 1 : 指标集有限 , 集族中集合元素有限
集合 A 1 = { 1 } A_1 = \{1\}A
1
={1} , 集合 A 2 = { 2 } A_2 = \{ 2 \}A
2
={2} , 那么 集族 A = { A 1 , A 2 } \mathscr{A} = \{ A_1 , A_2 \}A={A
1
,A
2
} 是以 { 1 , 2 } \{1 , 2\}{1,2} 集合为指标集的集合 ;
2. 集族示例 2 : 指标集有限 , 集族中集合元素有限
p pp 是素数
集合 A k = { x ∣ x = k ( m o d p ) } A_k = \{ x | x = k( mod \ \ p ) \}A
k
={x∣x=k(mod p)} , 其中 k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , p − 1 k = 0, 1 , 2 , \cdots , p-1k=0,1,2,⋯,p−1
集族 A = { A 0 , A 1 , A 2 , ⋯ , A p − 1 } \mathscr{A} = \{ A_0 , A_1 , A_2 , \cdots , A_{p-1} \}A={A
0
,A
1
,A
2
,⋯,A
p−1
} 是以 集合{ 0 , 1 , 2 , ⋯ , p − 1 } \{0, 1 , 2 , \cdots , p-1\}{0,1,2,⋯,p−1} 为指标集的 集族 ;
记作 : A = { A k ∣ k ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯ , p − 1 } } \mathscr{A} = \{ A_k | k \in \{0, 1 , 2 , \cdots , p-1\} \}A={A
k
∣k∈{0,1,2,⋯,p−1}}
3. 集族示例 3 : 指标集无限 , 集族中集合元素有限
集合 A n = { x ∈ N ∣ x = n } An = \{ x \in N \ | \ x = n \}An={x∈N ∣ x=n} 是由一个自然数元素 n nn 组成的集合 ;
集族 A = { A n ∣ n ∈ N } \mathscr{A} = \{ A_n | n \in N \}A={A
n
∣n∈N} 就是以 N NN 为指标集的集族 ;
4. 集族示例 4 : 指标集 N + N_+N
+
无限 , 集族中的每个元素集合中的元素也是无限的 ;
N + = N − 0 N_+ = N - {0}N
+
=N−0 , N + N_+N
+
是除 0 00 意外的自然数集合
集合 A n = { x ∣ 0 ≤ x < 1 / n ∧ n ∈ N } A_n = \{ x \ | \ 0 \leq x < 1 / n \land n \in N \}A
n
={x ∣ 0≤x<1/n∧n∈N} , x xx 是 [ 0 , 1 ) [0 , 1)[0,1) 区间的实数集合 , n nn 表示除 0 00 以外的自然数 ;
A n A_nA
n
集合中的元素是无限的 , 其取值范围是 [ 0 , 1 / n ) [ 0, 1/n )[0,1/n) , 是个区间 ;
集族 A = { A n ∣ n ∈ N + } \mathscr{A} = \{ A_n | n \in N_+ \}A={A
n
∣n∈N
+
} 就是以 N + N_+N
+
为指标集的集族 ;
三、 多重集
多重集 : 全集 E EE , E EE 中的元素 , 多次在集合 A AA 中出现 , 称 集合 A AA 是多重集 ;
重复度 : E EE 中的元素 a aa 在 集合 A AA 中 出现 k kk 次 , 称 a aa 元素在 A AA 集合中重复度为 k kk ;
多重集示例 :
全集 E = { a , b , c , d } E = \{a, b, c, d \}E={a,b,c,d}
多重集 A = { a , a , a , c , c , d } A = \{ a , a , a , c , c , d \}A={a,a,a,c,c,d} ,
a aa 元素在 A AA 集合的重复度为 3 33
b bb 元素在 A AA 集合的重复度为 0 00
c cc 元素在 A AA 集合的重复度为 2 22
d dd 元素在 A AA 集合的重复度为 1 11
集合与多重集关系 : 集合可以看做重复度小于等于 1 11 的多重集 ;
