文章目录
一、命题与联结词
二、命题公式
三、命题公式示例
四、联结词优先级
五、真值表
基于上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) ;
一、命题与联结词
原子命题 : p , q , r p , q , rp,q,r 表示 原子命题 , 又称为 简单命题 ;
真 : 1 11 表示 命题真值 为真 ;
假 : 0 00 表示 命题真值 为假 ;
联结词 : 上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) 三. 联结词 章节讲解了联结词 ;
否定联结词 : ¬ \lnot¬
合取联结词 : ∧ \land∧ , p ∧ q p \land qp∧q , p q pqpq 同真, 结果才为真 , 其余情况为假 ;
析取联结词 : ∨ \lor∨ , p ∨ q p \lor qp∨q , p q pqpq 同假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;
蕴涵联结词 : → \to→ , p → q p \to qp→q , p pp 真 q qq 假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;
等价联结词 : ↔ \leftrightarrow↔ , p ↔ q p \leftrightarrow qp↔q , p q pqpq 真值相同时为真 , 表示等价成立 , p q pqpq 真值相反时为假 , 等价不成立 ;
二、命题公式
命题公式 组成 :
① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;
② 如果 A AA 是命题公式 , 则 ( ¬ A ) (\lnot A)(¬A) 也是命题公式 ;
③ 如果 A , B A,BA,B 是命题公式 , 则 ( A ∧ B ) , ( A ∨ B ) , ( A → B ) , ( A ↔ B ) (A \land B) , (A \lor B), (A \to B), (A \leftrightarrow B)(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B) 也是命题公式 ;
④ 有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )
三、命题公式示例
命题公式示例 :
简单命题 : p pp
复合命题 : 使用 联结词 的命题称为 复合命题 ;
¬ p \lnot p¬p
( p → q ) (p \to q)(p→q) , 最外层的括号可以省略 , p → q p \to qp→q
( p → ( q → r ) ) (p \to (q \to r))(p→(q→r)) , 最外层括号可以省略 , 内层的括号不可以 , p → ( q → r ) p \to (q \to r)p→(q→r) ;
四、联结词优先级
联结词优先级 :
“¬ \lnot¬” 大于 “∧ , ∨ \land , \lor∧,∨” 大于 “→ , ↔ \to, \leftrightarrow→,↔”
∧ , ∨ \land , \lor∧,∨ 优先级相同 ;
→ , ↔ \to, \leftrightarrow→,↔ 优先级相同 ;
五、真值表
真值表 :
p pp q qq p → q p \to qp→q p ∧ ¬ q p \land \lnot qp∧¬q p ∧ ( p ∨ q ) ↔ p p \land ( p \lor q ) \leftrightarrow pp∧(p∨q)↔p
0 00 0 00 1 11 0 00 1 11
0 00 1 11 1 11 0 00 1 11
1 11 0 00 0 00 0 00 1 11
1 11 1 11 1 11 0 00 1 11
p → q p \to qp→q 是 可满足式 ;
p ∧ ¬ q p \land \lnot qp∧¬q 是 矛盾式 , 又称为 永假式 ;
p ∧ ( p ∨ q ) ↔ p p \land ( p \lor q ) \leftrightarrow pp∧(p∨q)↔p 是 重言式 , 又称为 永真式 ;
可满足式 : 真值表中 , 至少有一个结果为真 , 可以都为真 ;
矛盾式 ( 永假式 ) : 所有的真值都为假 ;
可满足式 与 矛盾式 , 是 二选一 的 , 复合命题 要么是 可满足式 , 要么是 矛盾式 ;
重言式 ( 永真式 ) 是可满足式的一种 ;
