文章目录
一、 集合恒等式
二、 集合恒等式推广到集族
一、 集合恒等式
1. 幂等律 : A ∪ A = A A \cup A = AA∪A=A , A ∩ A = A A \cap A = AA∩A=A
2. 交换律 : A ∪ B = B ∪ A A \cup B = B \cup AA∪B=B∪A , A ∩ B = B ∩ A A \cap B = B \cap AA∩B=B∩A
3. 结合律 : ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (A \cup B) \cup C = A \cup ( B \cup C )(A∪B)∪C=A∪(B∪C) , ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (A \cap B) \cap C = A \cap ( B \cap C )(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
4. 分配率 : A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C )A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) , A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C )A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
5. 德摩根律 :
① 绝对形式 : ∼ ( A ∪ B ) = ∼ A ∩ ∼ B \sim ( A \cup B ) = \sim A \cap \sim B∼(A∪B)=∼A∩∼B , ∼ ( A ∩ B ) = ∼ A ∪ ∼ B \sim ( A \cap B ) = \sim A \cup \sim B∼(A∩B)=∼A∪∼B
② 相对形式 : A − ( B ∪ C ) = ( A − B ) ∩ ( A − C ) A - (B \cup C) = ( A - B ) \cap (A - C)A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C) , A − ( B ∩ C ) = ( A − B ) ∪ ( A − C ) A - (B \cap C) = ( A - B ) \cup (A - C)A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C)
6. 吸收率 : A ∪ ( A ∩ B ) = A A \cup ( A \cap B ) = AA∪(A∩B)=A , A ∩ ( A ∪ B ) = A A \cap (A \cup B) = AA∩(A∪B)=A
7. 零律 : A ∪ E = E A \cup E = EA∪E=E , A ∩ ∅ = ∅ A \cap \varnothing = \varnothingA∩∅=∅
8. 同一律 : A ∪ ∅ = A A \cup \varnothing = AA∪∅=A , A ∩ E = A A \cap E = AA∩E=A
( 空集是并运算的单位元 , 全集是交运算的单位元 )
9. 排中律 : A ∪ ∼ A = E A \cup \sim A = EA∪∼A=E
10. 矛盾律 : A ∩ ∼ A = ∅ A \cap \sim A = \varnothingA∩∼A=∅
11. 余补律 : ∼ ∅ = E \sim \varnothing = E∼∅=E , ∼ E = ∅ \sim E= \varnothing∼E=∅
12. 双重否定定律 : ∼ ( ∼ A ) = A \sim ( \sim A ) = A∼(∼A)=A
13. 补交转换律 : A − B = A ∩ ∼ B A - B = A \cap \sim BA−B=A∩∼B
( 集合的差运算是不必要的 , 集合的交运算和补运算可以替代差运算 )
二、 集合恒等式推广到集族
{ A α } α ∈ S \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S}{A
α
}
α∈S
为集族 , S SS 是指标集 , α \alphaα 是指标集中的元素 , 对于 S SS 集合中的 α \alphaα 元素 , 都有一个集合 A α A_\alphaA
α
与之对应 ; 所有的 A α A_\alphaA
α
集合放在一起 , 形成一个集族 ;
B BB 是任意的一个集合 ;
1 . 分配律
分配律 ① :
B ∪ ( ⋂ { A α } α ∈ S ) = ⋂ α ∈ S ( B ∪ A α ) B \cup ( \bigcap \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcap_{\alpha \in S} ( B \cup A_\alpha )
B∪(⋂{A
α
}
α∈S
)=
α∈S
⋂
(B∪A
α
)
集族中每个集合元素求交 , 然后与 B BB 进行并运算 ; 等价于 集族中每个元素与 B BB 求并 , 然后在求上述每个并运算结果的交 ;
分配律 ② :
B ∩ ( ⋃ { A α } α ∈ S ) = ⋃ α ∈ S ( B ∩ A α ) B \cap ( \bigcup \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcup_{\alpha \in S} ( B \cap A_\alpha )
B∩(⋃{A
α
}
α∈S
)=
α∈S
⋃
(B∩A
α
)
集族中每个集合元素求并 , 然后与 B BB 进行交运算 ; 等价于 集族中每个元素与 B BB 求交 , 然后在求上述每个并运算结果的并 ;
2 . 德摩根律
德摩根律 ( 绝对形式 ) ① :
∼ ( ⋃ { A α } α ∈ S ) = ⋂ α ∈ S ( ∼ A α ) \sim ( \bigcup \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcap_{\alpha \in S} ( \sim A_\alpha )
∼(⋃{A
α
}
α∈S
)=
α∈S
⋂
(∼A
α
)
集族的广义并 , 然后求补 ; 等于 集族中的每个集合 , 先求补 , 然后再求广义交 ;
德摩根律 ( 绝对形式 ) ② :
∼ ( ⋂ { A α } α ∈ S ) = ⋃ α ∈ S ( ∼ A α ) \sim ( \bigcap \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcup_{\alpha \in S} ( \sim A_\alpha )
∼(⋂{A
α
}
α∈S
)=
α∈S
⋃
(∼A
α
)
集族的广义交 , 然后求补 ; 等于 集族中的每个集合 , 先求补 , 然后再求广义并 ;
德摩根律 ( 相对形式 ) ③ :
B − ( ⋃ { A α } α ∈ S ) = ⋂ α ∈ S ( B − A α ) B - ( \bigcup \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcap_{\alpha \in S} ( B - A_\alpha )
B−(⋃{A
α
}
α∈S
)=
α∈S
⋂
(B−A
α
)
B BB 集合减去 集族的广义并 ( 集族广义并 相对于 集合 B BB 的补集 ) ; 等于 B BB 集合减去集族中的每个集合 , 先求相对补集 , 然后再求广义交 ;
德摩根律 ( 相对形式 ) ④ :
B − ( ⋂ { A α } α ∈ S ) = ⋃ α ∈ S ( B − A α ) B - ( \bigcap \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcup_{\alpha \in S} ( B - A_\alpha )
B−(⋂{A
α
}
α∈S
)=
α∈S
⋃
(B−A
α
)
B BB 集合减去 集族的广义交 ( 集族广义交 相对于 集合 B BB 的补集 ) ; 等于 B BB 集合减去集族中的每个集合 , 先求相对补集 , 然后再求广义并 ;
=
