Armstrong公理系统
• Armstrong公理系统（函数依赖的公理系统）：设关系模式R(U,F)，其中U为属性集，F是U上的一组函数依赖，那么有如下推理规则：
（1）A1自反律：若Y⊆X⊆U，则X→Y为F所蕴涵。
（2）A2增广律：若X→Y为F所蕴涵，且Z⊆U，则XZ→YZ为F所蕴涵。
（3）A3传递律：若X→Y，Y→Z为F所蕴涵，则X→Z为F所蕴涵。
• 根据上述三条推理规则又可推出下述三条推理规则：
（1）合并规则：若X→Y，X→Z，则X→YZ为F所蕴涵。
（2）伪传递律：若X→Y，WY→Z，则XW→Z为F所蕴涵。
（3）分解规则：若X→Y，Z⊆Y，则X→Z为F所蕴涵。
函数依赖的闭包F +
定义：关系模式R(U,F)中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体称为F的闭包，记为：F + 。
即在F中能看出来并且其所蕴含的所有关系的集合称为函数依赖的闭包
属性的闭包X F +
• 定义：设F为属性集U上的一组函数依赖，X⊆U，X F + ={A|X→A能由F根据Armstrong
公理导出}，则称X F + 为属性集X关于函数依赖集F的闭包。
• 即：属性集X的闭包X F + 是指所有能由X决定的属性集合。
候选码的求解方法
• 给定一个关系模式R(U,F),U={A 1 ,A 2 ,…,A n }，F是R的函数依赖集，那么，可以将属性分为如下四类：
L：仅出现在函数依赖集F左部的属性
R：仅出现在函数依赖集F右部的属性
LR：在函数依赖集F左右部都出现的属性
NLR：在函数依赖集F左右部都未出现的属性
• 根据候选码的特性，对于给定一个关系模式R(U,F)，可以得出如下结论：
结论1：若X(X⊆U)是L类属性，则X必为R的任一候选码的成员。若X F + =U，则X必为R的唯一候选码。
结论2：若X(X⊆U)是R类属性，则X不是R的任一候选码的成员。
结论3：是X(X⊆U)是NLR类属性，则X必为R的任一候选码的成员。
结论4：若X(X⊆U)是L类和NLR类属性组成的属性集，若X F + =U，则X必为R的唯一候选码。
候选码的求解方法
第1步、根据题意，将所有的属性分类：
• L：只在左边出现，一定是
• R：只在右边出现，一定不是
• LR：左右都出现，有可能是，也有可能不是
• NLR：左右都没出现，一定是
第2步、将所有的L类和NLR类属性组合起来，设为P，求其闭包P F + ，如果是全集U，
那么它就是候选码。
第3步、如果P F + 不是全集U，则依次将LR类属性跟P组合起来求闭包，只要其闭包是
全集U，就是候选码。
最小函数依赖集※
（1）所有函数依赖的右侧只有一个属性。
（2）没有冗余的函数依赖。
（3）所有函数依赖的左侧没有冗余的属性。
