剑指 Offer：10- I. 斐波那契数列

1. 题目

剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

2. 描述

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0, F(1) = 1

F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2

输出：1

示例 2：

输入：n = 5

输出：5

提示：

0 <= n <= 100

3. 实现方法

3.1 方法 1

3.1.1 思路

F(0) = 0, F(1) = 1

F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1

利用递归的方法， 把 f ( n ) f(n)f(n) 问题的计算拆分成 f ( n − 1 ) f(n−1)f(n−1) 和 f ( n − 2 ) f(n−2)f(n−2) 两个子问题的计算，并递归，以 f ( 0 ) f(0)f(0) 和 f ( 1 ) f(1)f(1) 为终止条件，虽然能求出结果，但是最终会超时；

3.1.2 实现

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) {
            return n % 1000000007;
        }
        return (fib(n - 1) + fib(n - 2)) % 1000000007;
    }
}

3.2 方法 2

3.2.1 思路

F(0) = 0, F(1) = 1

F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1

利用上述条件，利用动态规划的思想；

状态定义： 设 d p dpdp 为一维数组，其中 d p [ i ] dp[i]dp[i] 的值代表 斐波那契数列第 i ii 个数字 。

转移方程： d p [ i + 1 ] = d p [ i ] + d p [ i − 1 ] dp[i + 1] = dp[i] + dp[i - 1]dp[i+1]=dp[i]+dp[i−1]，即对应数列定义 $f(n + 1) = f(n) + f(n - 1) $；

初始状态： d p [ 0 ] = 0 dp[0] = 0dp[0]=0, d p [ 1 ] = 1 dp[1]=1dp[1]=1 ，即初始化前两个数字；

返回值： d p [ n ] dp[n]dp[n] ，即斐波那契数列的第 n nn 个数字

时间复杂度：此时主要进行循环操作，时间复杂度为 O ( n ) O(n)O(n)；

3.2.2 实现

public int fib(int n) {
    int first = 0;
    int second = 1;
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum = (first + second) % 1000000007;
        first = second;
        second = sum;
    }
    return first;
}