1. 全等形
形状、大小完全相等的图形,称为全等形。
研究全等形的性质和判定两个图形全等,是几何学研究的重点,同样对现实生活有着重要的意义。
2. 全等三角形
通过旋转、平移等手段,能够完全重合的两个三角形,称为全等三角形。
把两个全等三角形重合到一起,重合的顶点称为对应订单,重合的边称为对应边,如下图AB和DE是对应边,角A和角D是对应角。
上面两个三角形全等,可记为:
由全等三角形的定义,很容易得出全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等。
3. 三角形全等的判定
判定规则1:三边分别相等的两个三角形全等,简写为边边边或SSS。这个还是比较好理解的,三条边长度都确定了,三角形就固定下来了。
判定规则2:两边和他们的夹角分别相等的两个三角形全等,简写为边角边或SAS。这个更加好理解,两个三角形角重合,从这个角出发的两条边一样长,所以这两个三角形肯定是完全重合的。
判定规则3:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,简写为角边角或ASA。理解的话,先固定一个边,然后两边角度都相同,则两边的交点应该也在一个位置,所以两个三角形应该是完全重合的。
判定规则4:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写为角角边或AAS。证明如下:
如下图,已知角A=角D,角B=角E,且BC=EF,求证两个三角形全等。
证明:
因为角A=角D且角B=角E,且三角形内角和180度,所以角C=角F
又因角B=角E
所以三角形ABC全等于三角形DEF(角角边)
判定规则5:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简称斜边、直角边
或HL
。这个可以按下图理解:
4. 角平分线的性质
性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等
,下面证明之,如下图:
AB是角CAD的平分线,B是平分线上一点,BC、BD分别是点B到AC、AD的距离,求证BC=BD。
因为AB是角平分线,所以角CAB=角DAB
因为AB是公共边,所以AB=AB
因为BC、BD是点到边的距离,所以角ACB=角ADB=90度。
所以三角形ACB全等于三角形ADB(角角边)
求证:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上,还是如上图。
已知BC=BD,且BC垂直于AC,BD垂直于AD,求证角CAB=角DAB。
BC=BD
AB是公共边
三角形CAB和DAB是直角三角形
两个三角形全等(直角边、斜边)
角CAB=角DAB