低密度校验码（LDPC）

2.5 LDPC 在 5G-NR 中的标准进展

2.5.3　基本图

在设计的过程中，5G LDPC 码基本图矩阵遵循了以下基本原则：
① Kernel 矩阵的行重接近于系统列数目，如 BG1 的前 4 行的行重都等于 kb−3，BG2 的前 4 行的行重都等于 kb−2；
② Kernel 矩阵的校验部分类似于 IEEE 802.16 和 IEEE 802.11 协议中矩阵的校验部分；
③ 前两列的列重明显大于其他列的列重；
④ 从总体上看，随着行索引的增加，矩阵行重逐步增加，并且，随着列索引的增加，矩阵列重逐步增加；
⑤ 从 Kb+5 列到最后一列，矩阵的列重都是 1。
文献 [41-43] 给出具有上述特征的 LDPC 的设计，具有这些特征的矩阵就是Raptor-like矩阵结构的雏形。BG矩阵的设计可以采用比特填充法[41]。另外，可以用性能估计工具或者参数来选择填充位置。性能估计工具可以是概率密度演进算法和 EXIT 图分析工具 [44]；性能参数可以是最小的汉明距离。另外，BG 矩阵的设计还可以考虑规避短圈和减少陷阱集合。
LDPC 基础矩阵的设计需要考虑性能和吞吐量。较小的基础矩阵可以支持更大的译码并行度，从而提高链路的吞吐量，达到峰值速率的要求。但是，较小矩阵中的元素数目有限，设计的自由度受到一定的限制，在性能方面的提高和优化难度较大。相反地，较大的基础矩阵有更多的元素，设计上的自由度更大，性能优化的潜力较大。但是，其译码并行度降低。在硬件复杂度一定的条件下，吞吐量不如较小的基础矩阵，达到峰值速率要求的挑战性较大。
基础矩阵设计的第二个考量因素是矩阵的数目。较多的矩阵对性能的优化有好处，但使得硬件成本增高，标准协议的复杂度提高；较少的矩阵可以降低硬件成本、简化标准协议，但性能上的优化难度较大。
第 3 个设计因素是，对于较长的码块，不需要过低的母码码率。首先，在系统对资源进行调度时，较长码块所对应的用户的信道条件较好，适合高的速率传输，此时的码率也较高；其次，较长码块如果采用很低的母码码率，其所需的硬件存储量很大，译码实现的难度较大；最后，过低码率的设计会使得基础矩阵较大和译码算法的复杂度增加。
在综合考虑以上的各个因素之后，3GPP 达成如下的共识 [32]。基础矩阵以紧凑型基本图为设计基础，支持两个基本图矩阵。第一个基本图（BG1）矩阵较大，系统列数目 Kb 最大为 22，最低母码码率为 1/3，核矩阵的码率在 22/24 左右，支持的最大码块长度为 8448 bit；第二个基本图（BG2）矩阵稍小，系统列数目 Kb 最大为 10，最低母码码率为 1/5，核矩阵的码率为 5/6，支持的最大码块长度为 3840 bit。尽管基本图矩阵 1 的 Kb 值明显大于基本图矩阵 2 的 Kb 值，但由于基本图矩阵 1 支持的最低母码码率明显高于基本图矩阵 2 的，因此两个矩阵总的大小差别不大，相比许多其他候选基本图矩阵，矩阵 1 和矩阵 2 的紧凑特性还是十分明显的。基本图矩阵 1 和基本图矩阵 2 的适用范围如图2-42所示。其中，采用BG2进行LDPC编码需要至少满足以下3个条件之一：
① 传输块不大于 292 bit；
② 传输块的大小在 292 bit 到 3824 bit 之间，且首次传输的码率不高于 2/3；
③ 传输块首次传输的码率不大于 1/4。
其他情况下都采用 BG1 编码。

1. BG1
图 2-43 表示了 BG1 的基本结构，一共有 46 行 68 列。顶部的 4 行 22 列被称为核心矩阵（Kernel Matrix），具有较高的行重（非 0 元素较多），对高码率时的性能影响较大。中间的 16 行为准正交的设计，即行与行之间存在一定的正交关系，但不很严格。下面的 26 行遵守严格的行正交设计。这种设计综合了性能和复杂度的双重考虑：核心矩阵采用较高的行重，可以保证高码率时的性能。虽然 Kernel 矩阵中非零元素的密度较高，但由于 Kernel 矩阵的行数和列数都较少，其中，非零元素的数量也不多，所以整体的译码时延并不高。同时，因为 LDPC 矩阵的低码率的扩展性，任何码率的 LDPC 矩阵都会包含 Kernel 矩阵，因此 Kernel 矩阵对低码率的性能影响也较大。
准正交的设计是指除了矩阵的最前面两列的元素之外，其他元素都是分组行正交的。所谓分组行正交是指矩阵中一部分的行是互相正交的。例如，BG1 的第 5 行至第 8 行为一组，该组内的三行是准正交，即该组内的三行除了前两列的元素不正交外，各行的其他元素都是行正交的。再比如，BG1 的第 9 行至第 11 行也是准正交的，但是任意两组之间并不是准正交的。
准正交是一种兼顾了性能和吞吐量的设计。一个分组内的各行，只有前两列因为不正交的缘故， CNU 从存储中读写数据时会发生地址冲突，因而不能并行译码，需要增加额外的等待时间。各行的其他元素都不存在地址冲突的问题，可以并行译码。这样可以大大地提高译码的速度，增大译码器的吞吐量。同时由于前两列的非正交性，在矩阵设计上提供了一定的自由度，可以获得相比于正交设计更好的性能。因此，准正交设计适用于 LDPC 中等码率的矩阵。
正交设计是指矩阵的行是分组正交的。例如，从BG1 的第 21 行至最后一行，任意相邻的两行之间都是行正交的。行正交可以提升译码的速度，因为正交的两行可以使得各自的 CNU 在读写存储器分片的数据时都不会产生地址冲突，不管采用行并行（Row Parallel）或是块并行（Block Parallel）的译码器结构，都可以提高并行度。基本矩阵的低码率部分采用行正交的设计可以提高低码率时的吞吐量。

行正交的意义是，降低行并行译码的复杂度，增加数据吞吐量。当然，行正交的特性也增加了基础矩阵的设计限制，例如非零元素的数目、分布等。
基于图 2-43 中的结构，经过大量的仿真和搜索，以及对各个码长和码率进行性能优化，3GPP 最终确定 BG1 的非零元素的具体位置（如图 2-44 所示）。其中的非零元素一共有 316 个，相对于整个矩阵（46×68 = 3128），BG 本身就具有稀疏特性。

BG只给出了基础矩阵中非“-1”元素的位置，但并没有给出具体的数值，每一个具体的数值代表了用于对单位矩阵进行循环移位的提升值(LiftingSize) ，具有这样具体数字的矩阵被称为基础矩阵或基础校验矩阵。BG不能直接用于LDPC编译码，而需要用基础矩阵进行编译码。基础矩阵设计可以通过计算机搜索产生，也可以从计算机随机产生的大量矩阵中筛选出短圈(ShortGirth) 数量较少和诱捕集(Trapping Set) 数量较少的矩阵，并进行进一步的仿真验证，从仿真结果中尽量选择差错平层(Error Floor) 较低以及码长和码率的一致性较好的矩阵作为确定的基础矩阵。参与3GPP5G-NR标准制定的各家公司，经过激烈的商讨，最终确定了BG1和BG2分别对应的8个不同的基础矩阵。表2-7给出了BG1及其对应的8个基础校验矩阵。

2.BG 2

图2-45表示了BG2的基本结构，一共有42行52列。顶部的4行10列被称为核心矩阵(Kernel Matrix) ，具有较高的行重(非0元素较多)，对高码率时的性能影响较大。最下面的22行是正交设计。与BG1不同的是，BG2的中间16行没有采用类似BG1的准正交设计，即BG2的中间16行除了最前面两列的元素外，剩余的部分也不是分组行正交的。这样的设计能够使得中、低码率的矩阵具有更好的性能。这对于扩展BG2的应用场景有较大的好处，比如未来可能将BG2应用于某些对可靠性要求较高的场景。
基于BG2的基本结构，经过大量的仿真和搜索，对各个码长和码率进行性能优化，最终确定BG2非零元素的具体位置，如图2-46所示。

表 2-8 给出了 BG2 及其对应的 8 个基础校验矩阵。