低密度校验码（LDPC）
2.2 LDPC 码的基本原理
2.2.4 实用的解码方法
概率域BP算法涉及大量乘法运算，运算量大，并且动态范围大、数值稳定性不好。在实际应用中，通常使用对数域BP算法。对数域BP算法将使用下面对数似然比(LLR， Log-Likelihood Ratio) ：
对数域BP算法步骤：
（1）按照下面公式初始化LLR（qmn）
（2）检验节点更新，按照下面公式更新LLR（rmn）
其中：
（3）变量节点更新，按照下面公式更新LLR（qmn）
（4）按照下面公式更新LLR（qn）
在以上介绍的对数域BP译码算法中，φ（x）的计算对于整个译码过程比较关键，其具有如下性质：
2.2.5 性能的理论分析
LDPC码的性能可以用理论分析。如果采用最大似然(Maximum-Likelihood) 的译码方法， LDPC码的性能界能够通过对码字距离的分布进行分析和计算得出。但是LDPC码的最大似然译码复杂度极高， 实际当中难以使用，一般是用概率方法译码，例如前几节叙述的BP算法，所以性能的分析应该考虑BP译码的条件。概率方法译码的分析还能反映置信度随迭代次数的增加而发生的变化，对译码收敛情况提供了理论方面的指导。
需要指出的是，这里的性能并不针对某一个给定的校验矩阵，而是在d，和d， 给定下的全体码字(Ensemble) 的平均性能。分析的方法是基于信息传送(Message Passing Algorithm) 的解码算法。为了方便和简化分析， 假设在所考虑的迭代次数内，因子图展成的树状结构中不会出现“环”的结构。
Gallager在其论文中已经对规则(Regular) 的LDPC码在二元对称信道(BSC， Binary Symmetric Channel) 的容量给出了解析表达式11-1.用pf”和p?表示在第1次迭代信息比特为1和-1的概率，用qf”)和q?表示在第l次迭代时从校验节点传给变量节点关于信息比特为1和-1的概率。用y，和P。分别表示变量节点和校验节点的映射图，可以得到1-2]
所以，
非规则 LDPC 性能分析的方法原理与规则 LDPC 的类似，但推导较为烦琐， 这里就不赘述。表 2-2 列举了一些 1/2 码率的非规则 LDPC 的比较好的（λ, ρ） 和高斯白噪声的最大允许标准差。 
根据香农容量定理，二元 AWGN 信道在 1/2 码率（QPSK 下达到 1 bit/ （s·Hz））条件下，信噪比（Eb/No）的极限值是 0.187 dB。而非规则的 LDPC 码可以达到 Eb/No = 0.2485 dB 的水平，离极限值仅有 0.06 dB。根据表 2-2 中的自由度分布设计相应的 LDPC 码，其码长为 106 bit。仿真结果表明，在误 码率为 10−6 的水平，Eb/No 可低达 0.31 dB，离香农极限只有 0.13 dB。这也证 明了以上性能的分析方法是有效和准确的。
