1.4 本书的目的和篇章结构

低密度校验码（LDPC）

低密度校验码（LDPC）是在1963年由Gallager发明的线性分组码 [1-2]。 由于该码的校验矩阵 H 具有很低的密度（H 只有少量的“1”，大 部分是“0”，即 H 的密度很低；H 是一个稀疏矩阵），故，Gallager 称 其为低密度校验码。经过 50 多年的发展，LDPC 码的构造、编码、译 码等方法已相当完备。LDPC 码已广泛应用到数据存储、光通信和无线 通信等系统中。
这一章先描述 LDPC 码的产生和发展，接着描述 LDPC 码的基本原理、准 循环 LDPC 码、QC-LDPC 译码结构、LDPC 在 5G-NR 的标准进展，然后是 复杂度、吞吐量、解码时延、链路性能，最后是 LDPC 码在 3GPP 中的应用和 未来发展，大致如图 2-1 所示。

| 2.1　LDPC 的产生和发展 |

1948 年，香农（C. E. Shannon）的论文 [3] 开启了信道编码的先河。但该 论文只证明了存在一种信道编码方法，该方法能使得信息通过信道时，其错误 概率能任意地小。该论文并没有给出具体的编码构造方法。随后，各种信道编 码方法不断地涌现出来。1950 年，汉明（R. W. Hamming）发明了后来称之为汉明码的线性分组码 [4]。不失一般性，GF（2）上的线性分组码可以用式（2-1） 来表达：

其中，u 为编码前的信息向量，x 为编码后的信息向量（码字，Code Word），G 为生成矩阵。对于上述的生成矩阵 G，如果 G 是满秩的，那么，它 可通过线性变换变成如下形式（如果 G 是降秩的，那么，它的前面若干行也可通过线性变换式（2-2））：

其中，Q 是对应到校验比特生成的子矩阵，I 是对应到信息比特的单位矩阵。 如果 G 是满秩的，那么，该线性分组码的校验矩阵 H 可用式（2-3）来表达：

其中，Q^T 是 Q 的转置。对于上述线性分组码，有:

即，接收端可以通过计算式（2-4），可知道信息传输是否有错误发生。
由上面的几个公式可知，线性分组码的生成矩阵 G 和校验矩阵 H 是一一对 应的。也就是说，线性分组码也可用校验矩阵来表达；或者说，我们可以先构 建校验矩阵，然后把它转换成生成矩阵；或者说，我们可以通过校验矩阵的适 当计算来编码。甚至，有时候，用校验矩阵来表达可能更为方便。
1957 年，Eugene Prange 提出了循环码 [5]。循环码也是一种线性分组码。 循环码的码字在循环移位之后仍然是其合法码字。这个特性使得循环码的解码 变得更为容易。如果一种编码方案的码字在循环移位一次之后不是其合法码 字，但在循环移位多次之后仍然是其合法码字的话，那么，称该码为准循环码 （Quasi-cyclic）。准循环的特性也能使得解码变得更为容易。
1963 年，Gallager 发明了 LDPC 码 [1-2]。LDPC 码也是一种线性分组码。 一般地，LDPC码用校验矩阵H来表达更为方便。在LDPC码的校验矩阵H中，由于“1”的元素很少，大部分的元素是“0”，故称之为”低密度的“（Low Density）。即，H是一个稀疏矩阵。LDPC码在提出之后，相对于当时的硬件而言，由于解码复杂度过高，故在当时难于应用，鲜有人问津。
1981年，R.M.Tanner重新用图论的观点来解析LDPC码。但是R.M.Tanner的研究工作仍然没有收到当时的研究人员的重视。1993年，Turbo码的发现使得yanjiure研究人员重新认识到Gallager提出的基于置信度传播和迭代译码的思想是一种编码方案达到或者接近香农限的非常有效的途径。1996年，D. MacKay 构造了接近香农限的 LDPC 码 [8]（“重新发现了 LDPC 码”）。其码 性能与文献[7]的Turbo码性能几乎相同，都非常接近香农限（约离香农限0.3 dB）。
2004 年，LDPC 码 进 入 全 球 微 波 互 联 接 入（WiMAX）（IEEE 802.16e）[9] 2008 年，LDPC 进入无线高保真（Wi-Fi）（IEEE 802.11n）[10] 标准。2001 年，S. Y. Chung 构建了离香农限只有 0.0045 dB 的 LDPC 码 [11]。这是目前发现 的性能最好的 LDPC 码。2003 年，LDPC 码进入欧洲第二套数字视频广播 （DVB-S2）标准 [12]。2016 年，LDPC 码进入 5G-NR 标准 [13-14]。5G-NR 使 用的是准循环 LDPC 码（QC-LDPC）。
总的来说，LDPC 码提出得很早，但其迭代思想一直在为编码人员所使用。