数值积分的梯形逼近及误差分析

引入梯形逼近的原因是，在求解一些函数的反导数时候，过程极为复杂甚至可能就不可能有简单的数学表达式，那么就需要把函数f的积分切成n个连续的小梯形，计算这n个连续的小梯形的黎曼和，从而得到积分。
如图：

在区间[a,b]，把这段区间切分成等长为h的若干个小梯形，那么可以把[a,b]的积分：
 
转换为求解这些梯形面积和的问题。梯形的面积计算无疑非常简单：

h=(b-a)/n
显然梯形逼近是一种大致数值逼近，必然存在误差T：

给出一个评估误差的公式，若f’’连续并且M是|f’’|的值在[a,b]上的一个上界，那么

其中h=(b-a)/n
假设f(x)=x^3，那么在区间[1,2]，则M=6*x=6 * 2=12，h=(2-1)/n=1/n

除了梯形逼近外，在数值积分的逼近方法中还有抛物线逼近。这两种方法可能会给使用者一个错觉，认为步进值取的越小，越精确，事实上完全相反，当取的步进值过于小时候，反而逼近的结果令人失望，原因是步进值很小，划分的块太小，导致每一块的误差累积起来，产生了更大的误差。