1. 线性空间：V是非空集合，，x，y，z….是其中的向量；k，l，m…是数域K上的数，如果V满足以下8个条件，则成V为线性空间：
加法运算：当x，y属于V时，x+y也属于V，即封闭性
（1）结合律：x+（y+z）=（x+y）+z；
（2）交换律：x+y=y+x；
（3）存在零元素0，使得x+0=x；
（4）存在负元素x+y=0，即x+（-x）=0；
数乘运算：x属于V，k为数域K中的数，则xk也属于V，
（5）数因子分配律：k（x+y）=kx+ky；
（6）分配律：（k+l）x=kx+lx；
（7）结合律：k（lx）=（kl）x；
（8）1x=x；
注意：线性空间有唯一的零元素，且每个元素有唯一的负元素。
2. 线性无关：c1x1+c2x2+c3x3+……+cmxm=0；其中cn为数，xn为向量。如果cn不全为0，则xn线性相关，否则xn线性无关。线性无关的向量个数即为空间的维数。
3. 线性空间的基与坐标：V中任意向量x都可以由x1，x2，x3……xr线性组合，且xn线性无关，则x1，x2，x3…xr为V的基。基不唯一。
基相当于坐标系，如直角坐标系的x，y。
如果线性空间中的向量x=c1x1+c2x2+c3x3+……cnxn，则称cn为x在该坐标系下的坐标。类似于直角坐标系下的点（1,2），（2,3）等。
4.基变换
新基y1，y2，y3，……yn与旧基x1，x2，x3，…..xn之间有有如下关系
（y1,y2,y3,…,yn）=(x1,x2,x3,…,xn)C
其中C=（c11,c12,c13,…,c1n;c21,c22,c23,…,c2n;…;cn1,cn2,cn3,…,cnn）;即过渡矩阵。
5. 坐标变换
新基yn下的坐标etan和旧基xn下的坐标ksin有如下关系：
