我们曾在线性代数里学过向量空间，它是由向量做成的集合。在这个集合里向量可以相加，向量可以乘以一个倍数，由此我们可以讨论向量的线性组合、向量的线性相关等概念。
线性空间的概念
线性空间
- 定义1.1：数域：一个对和、差、积、商运算都封闭的复数的非空集合P PP称为数域。
- 定义1.2：设V 是一个非空的集合，如果在V 中定义二元运算（加法）,
- 即V 中任意两个元素α 经过这个运算结果仍是V 中的一个元素，这个元素称为α与β 的和，记α + β 。
- 在数域P 与V 之间定义一个运算叫作数量乘法，即对于P中的任意数k 与V 中的任意一个元素α ，经过这一运算的结果仍然是V 中的一个元素，称为k 与α 的数量乘积，记k α 。
如果上述运算满足以下规则，则称V为数域P 上的线性空间。V 中的元素也称为向量。
线性空间的例子，基底、坐标
令其对应项相等即可。
基变换与坐标变换
一般来说，一个元素在不同的基底下有不同的坐标，它们的坐标有什么关系呢？
利用过渡矩阵就可以得到这个元素的两个坐标之间的关系：
子空间和维数定理
子空间及生成方式
用原有的子空间生成新的子空间的方法
维数定理
这个几个概念比较重要，需要记住。
线性空间中的线性变换
则称T 为V 上的线性变换。线性变换保持V 上的运算。
上面这个线性变换的公式需要记住，经常会考这个改变以及以下变种。比如下文的线性变换的矩阵的公式：
由：
- 零变换及单位变换也是线性变换，零变换是把所有元素变成零的变换，单位变换是把每个元素映射成自己的变换。
- 线性变换作为一种运算也可以组合，如果T 1，T 2 是线性变换，则：
可以证明，线性空间中的所有线性变换也做成一个线性空间，记作L ( V )
- 即用线性变换，定义的子空间，一个是像子空间，一个是核子空间。
线性变换的矩阵
V 上的所有线性变换构成的子空间是一个比较抽象的空间，我们知道一些具体的线性变换，但是任意一个线性变换是什么样子的，怎么表达呢？
可以看出，决定线性变换结果的是：
即基底在这个线性变换之下变成了什么形式。
可见每一个线性变换实际上与一个矩阵相对应，反过来，每一个矩阵也对应一个线性变换，即给定一个矩阵A ,只要定义：
则这个矩阵对应一个线性变换。
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