查找效率最高即平均查找长度最小，根据前面所学知识，我们可以给出有序表在非等概率情况下应遵循的两个原则：
1、最先访问的结点应是访问概率最大的结点；
2、每次访问应使结点两边尚未访问的结点的被访概率之和尽可能相等。
这两个原则可用一句话来表示，即判定树为带权内路径长度之和最小的二叉树，亦即：PH = ∑wihi 最小，其中 n 为有序表长度，hi 为第 i 个结点在判定树上的层次数，wi = cpi，c 为某个常数，pi 为第 i 个结点的查找概率。
这样的树称为静态最优查找树（static optimal search tree），构造这样一棵树的时间代价太大，亦即时间复杂度很大，因此我们通常是构造次优查找树（nearly optimal search tree），构造它的时间代价远远低于构造最优查找树，但查找性能只比最优查找树差1%~2%，很少差3%以上。
次优查找树的构造：
设有序表每个记录的权值为 wl,wl+1,…,wh，第一个应访问的结点号为 i ，则有：
Δpi = ∑wj - ∑wj 最小，即 Δpi = Min {Δpj }
再分别对 {rl,rl+1,…,ri-1} 和 {ri+1,ri+2,…,rh} 分别构造次优查找树。
为便于计算，引入累计权值swi=∑wj，并设wl-1=swl-1=0，则：
由于在构造次优查找树时没有考虑前面说的原则一，因此被选为根的结点的权值可能比其邻近结点的权值小，此时应对查找树作适当的调整，将相邻权值大的结点作为根结点。
次优查找树的查找方法与折半查找类似，其平均查找长度与 log n 成正比。
注意：利用上述算法构造好次优二叉树之后，可能并不是最优的，因为在构造过程中，没有考虑单个关键字的相应权值，则有可能出现被选为根的关键字的权值比与
它相邻的关键字的权值小。此时应做适当的调整：选取邻近的权值较大的关键字作为次优查找树的根节点（也就是左旋和右旋子树
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cmath>
#define N 100
#define MAXN 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<typename T>
class TreeNode{
public:
TreeNode* child[2];
T val;
int w;
TreeNode(){
child[0] = child[1] = NULL;
}
};
template<typename T>
class NearlyOptimalSearchTree{//次优查找树
public:
int n;
T val[N];
int w[N];
int sw[N];
TreeNode<T> *t;
void input();
void init();
void outT(TreeNode<T>* t);
private:
void buildT(int ld, int rd, TreeNode<T>* &t);//建立次优查找树
void adjustment(TreeNode<T>* &t);//调整次优查找树
void rotateT(TreeNode<T>* &t, int x);
};
template<typename T>
void NearlyOptimalSearchTree<T>::input(){
cin>>n;
for(int i=1; i<=n; ++i)
cin>>val[i]>>w[i];
}
template<typename T>
void NearlyOptimalSearchTree<T>::init(){
sw[0] = 0;
for(int i=1; i<=n; ++i)
sw[i] = sw[i-1]+w[i];
buildT(1, n, t);
cout<<"没有调整前的先序遍历:"<<endl;
outT(t);
adjustment(t);
cout<<endl<<"调整后的先序遍历:"<<endl;
outT(t);
cout<<endl;
}
template<typename T>
void NearlyOptimalSearchTree<T>::buildT(int ld, int rd, TreeNode<T>* &t){
if(ld > rd) return;
int minN = MAXN;
int i;
for(int j=ld; j<=rd; ++j){
int ans = sw[rd] - sw[j-1] - sw[j];
ans = abs(ans);
if(minN > ans){
minN = ans;
i = j;
}
}
t = new TreeNode<T>;
t->val = val[i];
t->w = w[i];
if(ld==rd) return;
buildT(ld, i-1, t->child[0]);
buildT(i+1, rd, t->child[1]);
}
template<typename T>
void NearlyOptimalSearchTree<T>::adjustment(TreeNode<T>* &t){
if(!t) return;
int lmax = 0, rmax = 0;
if(t->child[0]) lmax = t->child[0]->w;
if(t->child[1]) rmax = t->child[1]->w;
int maxVal = max(lmax, rmax);
if(t->w < maxVal){
if(maxVal == lmax){
rotateT(t, 1);//右旋子树
} else {
rotateT(t, 0);//左旋子树
}
}
adjustment(t->child[0]);
adjustment(t->child[1]);
}
template<typename T>
void NearlyOptimalSearchTree<T>::rotateT(TreeNode<T>* &o, int x){
TreeNode<T>* k = o->child[x^1];
o->child[x^1] = k->child[x];
k->child[x] = o;
o = k;
}
template<typename T>
void NearlyOptimalSearchTree<T>::outT(TreeNode<T>* t){
if(!t) return;
cout<<t->val<<" ";
outT(t->child[0]);
outT(t->child[1]);
}
int main(){
NearlyOptimalSearchTree<string> nost;
nost.input();
nost.init();
return 0;
}
/*
演示结果如下:
A 1
B 1
C 2
D 5
E 3
F 4
G 4
H 3
I 5
没有调整前的先序遍历:
F D B A C E G H I
调整后的先序遍历:
D C B A F E G I H
A 1
B 30
C 2
D 29
E 2
没有调整前的先序遍历:
C B A D E
调整后的先序遍历:
B A D C E
*/#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<queue>
#define N 100
#define MAXN 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<typename T>
class TreeNode{
public:
TreeNode* child[2];
T val;
int w;
int d;//距离屏幕左端的宽度
TreeNode(){
child[0] = child[1] = NULL;
}
};
template<typename T>
class NearlyOptimalSearchTree{//次优查找树
public:
int n;
T val[N];
int w[N];
int sw[N];
TreeNode<T> *t;
void input();
void init();
void outT(TreeNode<T>* t);
private:
int width;
int step;
void buildT(int ld, int rd, TreeNode<T>* &t);//建立次优查找树
void adjustment(TreeNode<T>* &t);//调整次优查找树
void rotateT(TreeNode<T>* &t, int x);
void widthT(TreeNode<T>* t);//计算每个节点到屏幕左端的距离
};
template<typename T>
void NearlyOptimalSearchTree<T>::input(){
cin>>n;
for(int i=1; i<=n; ++i)
cin>>val[i]>>w[i];
}
template<typename T>
void NearlyOptimalSearchTree<T>::init(){
sw[0] = 0;
width = 0;
step = 2;
for(int i=1; i<=n; ++i)
sw[i] = sw[i-1]+w[i];
buildT(1, n, t);
cout<<"没有调整前的先序遍历:"<<endl;
outT(t);
adjustment(t);
cout<<endl<<"调整后的先序遍历:"<<endl;
outT(t);
cout<<endl;
}
template<typename T>
void NearlyOptimalSearchTree<T>::buildT(int ld, int rd, TreeNode<T>* &t){
if(ld > rd) return;
int minN = MAXN;
int i;
for(int j=ld; j<=rd; ++j){
int ans = sw[rd] - sw[j-1] - sw[j];
ans = abs(ans);
if(minN > ans){
minN = ans;
i = j;
}
}
t = new TreeNode<T>;
t->val = val[i];
t->w = w[i];
if(ld==rd) return;
buildT(ld, i-1, t->child[0]);
buildT(i+1, rd, t->child[1]);
}
template<typename T>
void NearlyOptimalSearchTree<T>::adjustment(TreeNode<T>* &t){
if(!t) return;
int lmax = 0, rmax = 0;
if(t->child[0]) lmax = t->child[0]->w;
if(t->child[1]) rmax = t->child[1]->w;
int maxVal = max(lmax, rmax);
if(t->w < maxVal){
if(maxVal == lmax){
rotateT(t, 1);//右旋子树
} else {
rotateT(t, 0);//左旋子树
}
}
adjustment(t->child[0]);
adjustment(t->child[1]);
}
template<typename T>
void NearlyOptimalSearchTree<T>::rotateT(TreeNode<T>* &o, int x){
TreeNode<T>* k = o->child[x^1];
o->child[x^1] = k->child[x];
k->child[x] = o;
o = k;
}
template<typename T>
void NearlyOptimalSearchTree<T>::widthT(TreeNode<T>* t){
if(!t) return;
widthT(t->child[0]);
t->d = width;
width+=step;
widthT(t->child[1]);
}
template<typename T>
void NearlyOptimalSearchTree<T>::outT(TreeNode<T>* t){
width=0;
widthT(t);
queue<TreeNode<T>*> q, qq;
q.push(t);
int n=1;//当前层的节点个数
int i=1;//当前层第几个节点
int nn=0;//统计下一次的节点的个数
int pred;//前一个节点距离左屏幕的距离
while(!q.empty()){
TreeNode<T>* tt = q.front();
q.pop();
qq.push(tt);
if(tt != t){//不是根节点, 打印分枝竖线
if(i==1){
printf("%*s", tt->d, "|");
pred = tt->d;
} else {
printf("%*s", tt->d-pred, "|");
pred = tt->d;
}
}
//放入孩子节点
if(tt->child[0]) q.push(tt->child[0]), ++nn;
if(tt->child[1]) q.push(tt->child[1]), ++nn;
++i;
if(i>n){//上一层访问完毕
i=1;
n = nn;
nn = 0;
printf("\n");
bool first = true;//是否是这一行的第一个节点
int ld, rd;
while(!qq.empty()){//打印上层节点字符
TreeNode<T>* tt = qq.front();
qq.pop();
if(first){
cout<<setw(tt->d)<<tt->val;
pred = tt->d;
ld = tt->d;
if(tt->child[0])
ld = tt->child[0]->d;
} else {
cout<<setw(tt->d - pred)<<tt->val;
pred = tt->d;
}
first = false;
if(qq.empty()){//这一层的最后一个节点
rd = tt->d+1;
if(tt->child[1])
rd = tt->child[1]->d;
}
}
printf("\n");
if(q.empty()) break;//这是最后一层
cout<<setw(ld-1)<<"";
for(int i=ld; i<=rd; ++i)
printf("-") ;
printf("\n");
}
}
}
int main(){
NearlyOptimalSearchTree<string> nost;
nost.input();
nost.init();
return 0;
}
/*
//演示结果
A 1
B 1
C 2
D 5
E 3
F 4
G 4
H 3
I 5
没有调整前的先序遍历:
F
-------
| |
D G
-------------
| | |
B E H
-----------------
| | |
A C I
调整后的先序遍历:
D
-------
| |
C F
-----------
| | |
B E G
-----------------
| |
A I
------------------
|
H
*/
