[家里蹲大学数学杂志]第056期Tikhonov 泛函的变分

设 $\scrX$, $\scrY$ 是 Hilbert 空间, $T\in \scrL(\scrX,\scrY)$, $y_0\in\scrY$, $\alpha>0$. 则 Tikhonov 泛函 $$\bee\label{T} J_\alpha(x)=\sen{Tx-y_0}^2+\alpha\sen{x}^2\quad \sex{x\in \scrX} \eee$$ 存在唯一最小解 $x^\alpha\in \scrX$, 且 $x^\alpha$ 适合 Euler-Lagrange 方程 $$\bee\label{E} \sex{\alpha I_\scrX+T^*T}x^\alpha=T^*y_0. \eee$$

证明:

(1)首先说明 $\eqref{E}$ 是可唯一求解的. 这是 Lax-Milgram 定理的直接推论. 事实上, 由线性有界算子 $\alpha I_x+T^*T$ 决定的 $\scrX$ 上的共轭双线性泛函 $a(\cdot,\cdot)$ 是

　　(a)有界 (bounded) 的: $$\bex \sev{a(x_1,x_2)}= \sev{\sef{\alpha x_1+T^*Tx_1,x_2}} \leq \sex{\alpha+\sen{T}^2}\sen{x_1}\sen{x_2}; \eex$$

　　(b)强制 (coercive) 的: $$\bex a(x,x)=\sef{\alpha x+T^*Tx,x}\geq \alpha\sen{x}^2. \eex$$

(2)其次说明 $$\bex x\in \scrX-\sed{x^\alpha}\ra J_\alpha(x)>J_\alpha(x^\alpha). \eex$$ 实际上, 令 $v^\alpha=x-x^\alpha\neq 0$, 有 $$\bex J_\alpha(x)&=&J\sex{v^\alpha+x^\alpha}\\ &=&\sen{T\sex{v^\alpha+x^\alpha}-y}^2 +\alpha\sen{v^\alpha+x^\alpha}^2\\ &=&\sen{Tv^\alpha}^2 +\sef{Tv^\alpha,Tx^\alpha-y_0} +\sef{Tx^\alpha-y_0,Tv^\alpha} +\sen{Tx^\alpha-y_0}^2\\ & &+\alpha\sen{v^\alpha}^2 +\alpha\sef{v^\alpha,x^\alpha} +\alpha\sef{x^\alpha，v^\alpha} +\alpha\sen{x^\alpha}^2\\ &=&\sen{Tv^\alpha}^2+\alpha\sen{v^\alpha}^2\\ & &+\sef{v^\alpha,T^*\sex{Tx^\alpha-y_0}+\alpha x^\alpha} +\sef{v^\alpha,T^*\sex{Tx^\alpha-y_0}+\alpha x^\alpha}\\ & &+\sen{Tx^\alpha-y_0}^2+\alpha\sen{x^\alpha}^2\\ &=&\sen{Tv^\alpha}^2+\alpha\sen{v^\alpha}^2+J_\alpha(x^\alpha)\\ &>&J_\alpha(x^\alpha). \eex$$