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[Everyday Mathematics]20150303

2015-01-26 797

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简介： 设

$f$ 是

$\bbR$ 上的

$T$ - 周期函数, 试证:

$\bex \int_T^\infty\frac{f(x)}{x}\rd x\mbox{ 收敛 } \ra \int_0^T f(x)\rd x=0. \eex$

设 $f$ 是 $\bbR$ 上的 $T$ - 周期函数, 试证:

$\bex \int_T^\infty\frac{f(x)}{x}\rd x\mbox{ 收敛 } \ra \int_0^T f(x)\rd x=0. \eex$

张祖锦

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张祖锦

[Everyday Mathematics]20150306

在王高雄等《常微分方程(第三版)》习题 2.5 第 1 题第 (32) 小题:

$\bex \frac{\rd y}{\rd x}+\frac{1+xy^3}{1+x^3y}=0. \eex$ 解答: $$\beex \bea 0&=(1+xy^3)\rd x+(1+x^3y)\rd y...

张祖锦

660 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150228

试证:

$\bex \int_0^\infty \sin\sex{x^3+\frac{\pi}{4}}\rd x =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\int_0^\infty e^{-x^3}\rd x. \eex$

张祖锦

872 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150218

设

$A,B$ 是

$n$ 阶复方阵, 适合

$\bex A^2B+BA^2=2ABA. \eex$ 试证: 存在

$k\in\bbZ^+$ , 使得

$(AB-BA)^k=0$ .

张祖锦

495 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150215

设

$n,k$ 是正整数, 使得

$x^{2k}-x^k+1$ 整除

$x^{2n}+x^n+1$ . 试证:

$x^{2k}+x^k+1$ 整除

$x^{2n}+x^n+1$ .

张祖锦

526 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150222

设

$\bex a_0=1,\quad a_1=\frac{1}{2},\quad a_{n+1}=\frac{na_n^2}{1+(n+1)a_n}\ (n\geq 1). \eex$ 试证:

$\dps{\sum_{k=0}^\infty\frac{a_{k+1}}{a_k}}$ 收敛, 并求其值.

张祖锦

708 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150220

试求

$\bex \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4)}. \eex$

张祖锦

520 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150210

设正方体

$ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为

$1$ ,

$E$ 为

$AB$ 的中点,

$P$ 为体对角线

$BD_1$ 上一点, 当

$\angle CPE$ 最大时, 求三菱锥

$P-BCE$ 的体积.

张祖锦

687 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150125

试求极限

$\bex \lim_{x\to 0^+}\int_x^{2x} \frac{\sin^m t}{t^n}\rd t\quad\sex{m,n\in\bbN}. \eex$

张祖锦

476 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150129

计算下列积分

$\bex \int_a^b (x-a)^2(b-x)^3\rd x. \eex$

张祖锦

510 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150126

设

$A$ 是

$4\times 2$ 阶实矩阵,

$B$ 是

$2\times 4$ 阶实矩阵, 满足

$\bex AB=\sex{\ba{cccc} 1&0&-1&0\\ 0&1&0&-1\\ -1&0&1&0\\ 0&-1&0&1 \ea}. \eex$ 试求

$BA$ .

张祖锦

596 0 0

[Everyday Mathematics]20150303

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