【洛谷 P1044】[NOIP2003 普及组] 栈 题解(递归+记忆化搜索)

简介: **NOIP2003普及组栈问题**:给定操作数序列1到n,仅允许push(进栈)和pop(出栈)操作。目标是计算所有可能的输出序列总数。输入包含一个整数n(1≤n≤18)。示例输入3,输出5。当队列空时返回1,栈空则只能入栈,栈非空时可入栈或出栈。AC C++代码利用记忆化搜索求解。

[NOIP2003 普及组] 栈

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构,简单的说,栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作,即 pop(从栈顶弹出一个元素)和 push(将一个元素进栈)。

栈的重要性不言自明,任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时,想到了一个书上没有讲过的问题,而他自己无法给出答案,所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题:一个操作数序列,$1,2,\ldots ,n$(图示为 1 到 3 的情况),栈 A 的深度大于 $n$。

现在可以进行两种操作,

  1. 将一个数,从操作数序列的头端移到栈的头端(对应数据结构栈的 push 操作)
  2. 将一个数,从栈的头端移到输出序列的尾端(对应数据结构栈的 pop 操作)

使用这两种操作,由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列,下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。

(原始状态如上图所示)

你的程序将对给定的 $n$,计算并输出由操作数序列 $1,2,\ldots,n$ 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入格式

输入文件只含一个整数 $n$($1 \leq n \leq 18$)。

输出格式

输出文件只有一行,即可能输出序列的总数目。

样例 #1

样例输入 #1

3

样例输出 #1

5

提示

【题目来源】

NOIP 2003 普及组第三题

思路

当输入队列为空时,说明全部元素已经入栈,只有一种方法。
当栈空时,只能入栈。
当栈非空,可以出栈也可以入栈。

AC代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int maxn = 105;

int mem[maxn][maxn];

int f(int x, int y){
   
   
    // cout << x << " " << y << endl;
    if(mem[x][y]){
   
   
        return mem[x][y];
    }
    // 输入队列空
    if(!x){
   
   
        return 1;
    }
    mem[x][y] = f(x - 1, y + 1);
    if(y){
   
   
        // 栈非空,入栈+出栈
        mem[x][y] += f(x, y - 1);
    }
    return mem[x][y];
}

int main(){
   
   
    int n;
    memset(mem, 0, sizeof(mem));
    cin >> n;
    cout << f(n, 0) << endl;
    return 0;
}
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