LeetCode 力扣题目：买卖股票的最佳时机 IV

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买卖股票的问题在力扣（LeetCode）上是一个系列，涵盖了从简单到困难的多种变体，每个题目都有其特定的条件和限制。这里是一些常见题目的主要区别：

1. 买卖股票的最佳时机121题

• 条件：只允许完成一笔交易（即买入和卖出一次股票）。
• 目标：求最大利润。

2. 买卖股票的最佳时机 II 122题

• 条件：可以进行多次交易，但必须在再次购买前出售掉之前的股票。
• 目标：求最大利润。

3. 买卖股票的最佳时机 III 123题

• 条件：最多可以完成两笔交易。
• 目标：求最大利润。

题目描述

给定一个整数数组 prices，其表示一支股票的价格变化；再给定一个整数 k，表示你最多可以完成 k 笔交易（买入和卖出算一笔交易，且每次交易之前必须卖出手中的股票）。请求出你能够获得的最大利润。

注意： 你不能同时参与多笔交易（必须在再次购买前卖掉之前的股票）。

示例：

输入: k = 2, prices = [2,4,1]

输出: 2

解释: 在第1天（价格 = 2）的时候买入，在第2天（价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2。

方法一：动态规划

解题步骤

1. 定义状态 dp[i][j] 表示第 i 天结束时，进行了 j 次交易的最大利润。
2. 对于每天的股票价格，更新买入和卖出状态：

• dp[i][j] 可以由 dp[i-1][j]（不操作）或 dp[i-1][j-1] - prices[i]（买入）更新。
• dp[i][j] 也可以通过 dp[i-1][j-1] + prices[i]（卖出）更新。

3. 初始化状态，dp[0][...] = 0 或根据第一天的操作调整。
4. 遍历完成后，dp[n-1][k] 为最大利润。

Python 示例

def maxProfit(k, prices):
    n = len(prices)
    if n < 2:
        return 0
    if k >= n // 2:
        return sum(x - y for x, y in zip(prices[1:], prices[:-1]) if x > y)
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n)]
    for j in range(1, k + 1):
        max_buy = -prices[0]
        for i in range(1, n):
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], prices[i] + max_buy)
            max_buy = max(max_buy, dp[i - 1][j - 1] - prices[i])
    return dp[-1][k]
# Example usage
k = 2
prices = [2, 4, 1]
print(maxProfit(k, prices))  # Output: 2

算法分析

• 时间复杂度：O(n*k)，其中 n 是数组的长度。
• 空间复杂度：O(n*k)，用于存储 dp 数组。

算法图解与说明

初始: dp = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
第一天: 不操作或买入
第二天: 卖出或继续持有
第三天: 选择最优操作

方法二：优化空间的动态规划

解题步骤

1. 使用滚动数组优化空间复杂度，仅使用两行来存储当前和前一天的状态。
2. 同样遵循动态规划的状态转移方程，但在每天结束后，将当前天的状态复制到“前一天”数组中。
3. 通过优化状态转移的方式，减少空间使用，确保算法更高效。

Python 示例

def maxProfit(k, prices):
    n = len(prices)
    if n < 2:
        return 0
    if k >= n // 2:
        return sum(max(prices[i + 1] - prices[i], 0) for i in range(n - 1))
    
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(2)]
    for j in range(1, k + 1):
        max_buy = -prices[0]
        for i in range(1, n):
            dp[i % 2][j] = max(dp[(i - 1) % 2][j], prices[i] + max_buy)
            max_buy = max(max_buy, dp[(i - 1) % 2][j - 1] - prices[i])
    return dp[(n - 1) % 2][k]
# Example usage
k = 2
prices = [2, 4, 1]
print(maxProfit(k, prices))  # Output: 2

算法分析

• 时间复杂度: O(n*k)，其中 n 是股票价格的天数。
• 空间复杂度: O(k)，因为我们只保持了两个长度为 k+1 的数组。

算法图解与说明

假设 k=2, prices=[2, 4, 1]
使用滚动数组优化：
初始: dp[0][...] = [0, 0, 0]
      dp[1][...] = [0, 0, 0]
第1天: max_buy = -2
第2天: dp[1][1] = max(dp[0][1], 4 - 2)
       dp[1][2] = max(dp[0][2], dp[0][1] - 2)
继续更新...

方法三：局部最优与全局最优解法

解题步骤

1. 使用两个数组 local 和 global 来存储局部最优和全局最优的利润。
2. local[i][j] 表示到达第 i 天时最多进行 j 次交易，并且最后一次交易在第 i 天卖出的最大利润。
3. global[i][j] 表示到达第 i 天时最多进行 j 次交易的最大利润。
4. 更新规则：

• local[i][j] = max(global[i-1][j-1] + max(0, prices[i] - prices[i-1]), local[i-1][j] + (prices[i] - prices[i-1]))
• global[i][j] = max(global[i-1][j], local[i][j])

Python 示例

def maxProfit(k, prices):
    n = len(prices)
    if n < 2 or k <= 0:
        return 0
    if k >= n // 2:
        return sum(max(prices[i + 1] - prices[i], 0) for i in range(n - 1))
    
    local = [[0] * (k + 1) for _ in range(n)]
    global_profit = [[0] * (k + 1) for _ in range(n)]
    for i in range(1, n):
        delta = prices[i] - prices[i - 1]
        for j in range(1, k + 1):
            local[i][j] = max(global_profit[i-1][j-1] + max(delta, 0), local[i-1][j] + delta)
            global_profit[i][j] = max(global_profit[i-1][j], local[i][j])
    
    return global_profit[-1][k]
# Example usage
k = 2
prices = [2, 4, 1]
print(maxProfit(k, prices))  # Output: 2

算法分析

• 时间复杂度: O(n*k)，每天的每个交易次数都进行了计算。
• 空间复杂度: O(n*k)，存储局部和全局最优利润。

算法图解与说明

股票价格:  [2, 4, 1]
local 和 global 更新:
第2天 (价格4): local[1][1] = max(global[0][0] + 2, 0) = 2
              global[1][1] = max(global[0][1], local[1][1]) = 2
继续追踪并更新所有局部和全局最优解...

这些方法提供了不同的策略来处理买卖股票的最佳时机问题，特别是当交易次数有限制时。每种方法都有其适用场景和优缺点，可以根据具体需求和资源情况选择最合适的策略。

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