在数学规划问题中，常常会遇到多种非线性目标和约束的问题，如电力系统中机组的成本函数，很多文献采用分段线性化进行处理，但是对于稍微复杂些的非线性问题采用分段线性化难度很大，而且结果偏差比较严重，经过博主测试，matlab+yalmip（cplex为求解器）能够解决一些看起来比较棘手的非线性问题，功能远比你想象中要强大。
1 非线性数学规划案例
考虑下面的最小化问题。
其中，.
可以看到，目标函数是一个带的函数，是非线性的；第一个约束是2次方，第二个约束带绝对值。
这个问题包含了多种非线性的场景，非常适合用来检验matlab+yalmip求解非线性的数学规划。
2 完全直接调用matlab+yalmip求解
如果完全直接调用yalmip求解，则需要引入辅助变量
因此，上述数学规划其实是可以等价为下面的形式
我们用matlab调用cplex来求解该数学规划。
使用到的函数
- abs: 添加绝对值约束
- max：添加约束
完整代码如下:
%定义变量 x=sdpvar(1); y=sdpvar(1); z=sdpvar(1); u=sdpvar(1); w=sdpvar(1); %设置约束 con=[]; con=[con,(x-1)^2+(y-1)^2-1<=0];%二次非线性约束 con=[con,z+y-2<=0]; con=[con,z==abs(x)];%非线性约束 con=[con,u==y+4]; con=[con,w==max(z,u)];%非线性约束 con=[con,w>=0,z>=0]; %求解 ops = sdpsettings('verbose',1,'solver','cplex');%求解器设置 optimize(con,w,ops) %结果 x=value(x) y=value(y) z=value(z) u=value(u) w=value(w)
求解结果为：
CPXPARAM_MIP_Display 1 Tried aggregator 2 times. MIQCP Presolve eliminated 5 rows and 1 columns. MIQCP Presolve modified 16 coefficients. Aggregator did 5 substitutions. Reduced MIQCP has 15 rows, 8 columns, and 40 nonzeros. Reduced MIQCP has 2 binaries, 0 generals, 0 SOSs, and 0 indicators. Reduced MIQCP has 1 quadratic constraints. Presolve time = 0.00 sec. (0.05 ticks) Probing time = 0.00 sec. (0.00 ticks) MIP emphasis: balance optimality and feasibility. MIP search method: dynamic search. Parallel mode: deterministic, using up to 8 threads. Node log . . . Best integer = 4.999999e+00 Node = 0 Best node = 3.998578e+00 Best integer = 4.999997e+00 Node = 0 Best node = 3.999001e+00 Best integer = 4.000000e+00 Node = 0 Best node = 4.000000e+00 Flow cuts applied: 1 Gomory fractional cuts applied: 1 Cone linearizations applied: 13 ans = 包含以下字段的 struct: yalmipversion: '20181012' yalmiptime: 0.1245 solvertime: 0.3555 info: 'Successfully solved (CPLEX-IBM)' problem: 0 x = 1.0000 y = -6.9885e-09 z = 1.0000 u = 4.0000 w = 4.0000
由于是有一点点数值问题，我们可以忽略数值问题，实际上最优解为
从上述解可以得知，这个解确实是最优的。
通过报告我们大致看一下对非线性部分如何处理的：
Reduced MIQCP has 1 quadratic constraints
该二次型整数规划模型中成功处理了二次项约束，具体处理方法也直接给出来了：
Cone linearizations applied: 13
应用了二阶锥方法解决2次规划问题，当然，二阶锥约束也可以用cone进行表达。
