傅里叶变换（Fourier Transform，简称 FT）是一种数学变换，用于将信号或函数从其原始域（如时间域或空间域）转换到频域，以便于分析其频率成分。傅里叶变换在物理学、工程学、信号处理和许多其他科学和工程领域中都有广泛的应用。
连续傅里叶变换
对于一个连续时间信号 ( f(t) )，其傅里叶变换 ( F(\omega) ) 定义为：
[
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt
]
其中，( \omega ) 是角频率，( j ) 是虚数单位。
逆傅里叶变换
逆傅里叶变换可以将频域信号转换回时域：
[
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega
]
离散傅里叶变换
在离散信号处理中，离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称 DFT）是连续傅里叶变换的离散对应物。对于一个长度为 ( N ) 的离散时间信号 ( f[n] )，其 DFT ( F[k] ) 定义为：
[
F[k] = \sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}
]
快速傅里叶变换
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称 FFT）是一种高效计算 DFT 的算法，它利用 DFT 的对称性质和周期性，通过递归运算减少计算量，从而大大提高了傅里叶变换的计算速度。
应用
傅里叶变换的一些常见应用包括：
- 信号分析：分析信号的频率成分，如音频信号的音调分析。
- 图像处理：在频域中进行图像压缩和滤波。
- 通信系统：调制和解调信号。
- 量子物理：分析量子态的频率特性。
- 热传导和波动方程：解决与时间和频率相关的物理问题。
傅里叶变换是一种强大的工具，它揭示了信号的内在频率结构，使我们能够更深入地理解和处理各种信号和系统。
