正文

4. 二维离散傅里叶变换的性质

1、可分离性

二维离散傅里叶变换的可分离性可以将一个二维变换分解为两个一维变换，简化计算

2、线性

傅里叶变换是一种线性变换正交变换，满足线性变换的叠加性

3、共轭对称性

如果F ( μ , ν ) )是f ( x , y ) 的傅里叶变换，F ∗ ( − μ , − ν ) 是傅里叶变换的共轭函数，那么

4、平移不变性

目标在空域中进行平移不会改变其频谱和幅度谱

5、旋转性

若空间域中函数旋转角度为θ 0，那么在变换域中此函数的傅里叶变换也旋转同样的角度，即：

6、比例变换性

若在傅里叶变换中，a aa与b bb是两个标量，则有

例如下图中空间域图像逆时针旋转45°，其频率域图像也逆时针旋转了45°

7、Parseval定理(能量保持定理)

若F ( μ , ν )是f ( x , y ) 的傅里叶变换，那么变换前后信号强度保持不变，即没有信息损失：

8、相关性定理

两个二维函数f ( x , y 、g ( x , y ) )的相关函数定义如下：

9、卷积定理

两个二维函数f ( x , y 、g ( x , y )的卷积运算定义如下：

5. 傅里叶变换的应用

傅里叶变换的应用基于它的两个特点：

反应频域特性

将卷积运算转化为乘积运算

5.1. 在图像滤波中的应用

变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外频率越高。根据这个特性自行构建滤波器选择所需要的高频或低频部分

5.2. 在图像压缩中的应用

根据高频反应细节、低频反应概貌的特性可以把一下无关紧要的频率分量虑除掉以降低图像大小