在大数据的趋势下，我们经常需要做预测性分析来帮助我们做决定。其中一个重要的事情是根据我们过去和现在的数据来预测未来。这种方法我们通常被称为预测。
许多情况下都需要预测：决定是否在未来五年内再建一座发电站需要对未来的需求进行预测；安排下周呼叫中心的工作人员需要对呼叫量进行预测；储备库存需要对库存需求进行预测。一个事件的可预测性取决于几个因素，包括。
- 我们对造成这种情况的因素了解得如何。
- 有多少数据可用。
- 预测是否能影响我们试图预测的事物。
ARIMA
差分整合自回归移动平均模型（ARIMA）(p,d,q)是自回归（AR）、移动平均（MA）和自回归移动平均（ARMA）模型的扩展版本。ARIMA模型是应用于时间序列问题的模型。ARIMA将三种类型的建模过程结合到一个建模框架中。
- I：差分是用d表示的。它告诉我们在连续的观察样本中，被差分的序列对于原始序列的变化数量。
- AR：自回归用p表示，它告诉我们为适应平稳序列的AR过程所需的滞后期数。ACF和PACF帮助我们确定AR过程的最佳参数集。
- MA：移动平均阶数用q表示。它告诉我们要回归的序列中的误差项的数量，以便将差分的AR过程残差减少为白噪声。
关于ARIMAX
ARIMAX或回归ARIMA是ARIMA模型的一个扩展。在预测中，这种方法也涉及自变量。ARIMAX模型表示输出时间序列由以下部分组成：自回归（AR）部分，移动平均（MA）部分，差分整合（I）部分，以及属于外生输入（X）的部分。外生部分（X）反映了将外生输入的现值 
和过去值 
包括到ARIMAX模型中。
多元回归模型公式：
其中Y是xi预测变量的因变量，ε通常被认为是一个不相关的误差项（即是白噪声）。我们考虑了诸如Durbin-Watson检验等检验方法来评估ε是否有显著的相关性。我们将在方程中用nt代替ε。误差序列 
被假定为遵循ARIMA模型。例如，如果 nt 遵循一个 ARIMA（1,1,1）模型，我们可以写成
其中εt是一个白噪声序列。ARIMAX模型有两个误差项，一个是回归模型的误差，我们用jt表示，另一个是ARIMA模型的误差，我们用εt表示。只有ARIMA模型的误差被认为是白噪声。
实例探究
我们将使用经济序列数据。数据是一个五个季度的经济序列，包含以下数字变量：季度失业率、国民生产总值、消费、政府投资和私人投资。有161个观测点。
季节性成分已经从数据中去除。集中在失业率（Ut）、国民生产总值（Gt）和消费（Ct）上，首先对每个序列进行记录，然后去掉线性趋势，对数据拟合一个向量ARMA模型。也就是说，对xt=(x1t,x2t,x3t)t拟合一个向量ARMA模型，例如，x1t=log(Ut)-β0^-β1^t，其中β0^和β1^是log(Ut)对时间t的回归的最小二乘估计。对残差运行一套完整的诊断方法。
数据探索
grid.arrange(p1,p2,p3,ncol=2)
从图中可以看出，国民生产总值和消费可以作为回归使用。我们可以用时间、国民生产总值和消费来预测失业率。
ARIMAX模型拟合
summary(varma)
plot(df,aes(t,res))+line(col=colpla\[2\]) acf\_pacf(res\_= acf(x, plot= F) , label= "ACF") plot(df, aes(x=res)) + histogram(aes(y=..density..)
我们的残差在大多数情况下是正态分布的，ACF图中没有明显的尖峰。Ljung-Box检验在5%的水平上有0.05297的p值，所以数据是独立分布的，在任何滞后期都没有明显的自相关。这是一个理想的结果。
预测
我们随机生成log(g)和log(c)的向量，作为我们预测模型的输入值。两个向量的长度都是8，所以我们的目标是预测未来8个季度的log(u)值。请注意，对于多个回归因子，我们必须将这些向量合并成一个矩阵，以便我们进行预测工作。
forecast(m,x=logfc+logc ) plot(yfor）
ARIMA模型
通过使用ARIMA，我们只根据连续的时间数据来预测未来。它忽略了可能影响消费变化的其他因素。
ARIMAX优点缺点
要使用ARIMAX模型，有几个可能的优点和缺点。
优点
使用ARIMAX的好处是我们可以将回归和时间序列部分结合在一个模型中，命名为ARIMAX。与回归模型或ARIMA模型相比，这个模型可以优化我们的误差。
缺点
一个缺点是，协变量系数很难解释。斜率的值不是xt增加1时对Yt的影响（就像回归中那样）。方程右侧存在因变量的滞后值，这意味着斜率β只能以因变量以前的值为条件进行解释，这很不直观。
