总览

本文简要介绍了一种简单的状态切换模型，该模型构成了隐马尔可夫模型（HMM）的特例。这些模型适应时间序列数据中的非平稳性。从应用的角度来看，这些模型在评估经济/市场状态时非常有用。这里的讨论主要围绕使用这些模型的科学性。

基本案例

HMM的主要挑战是预测隐藏部分。我们如何识别“不可观察”的事物？HMM的想法是从可观察的事物来预测潜在的事物。

模拟数据

为了演示，我们准备一些数据并尝试进行反向推测。通过构造，我强加了一些假设来创建我们的数据。每个状态都具有不同的均值和波动率。

library(knitr)
library(kableExtra)
library(dplyr)
theta_v <- data.frame(t(c(2.00,-2.00,1.00,2.00,0.95,0.85)))
names(theta_v) <- c("$\\mu_1$","$\\mu_2$","$\\sigma_1$","$\\sigma_2$","$p_{11}$","$p_{22}$")
kable(theta_v, "html", booktabs = F,escape = F) %>% 
        kable_styling(position = "center")

如上表所示，状态\（s = 2 \）变成“坏”状态，其中过程\（x_t \）表现出较高的变化性。 因此，停留在状态2的可能比停留在状态1的可能性小。

马尔可夫过程

为了模拟过程\（x_t \），我们从模拟马尔可夫过程\（s_t \）开始。为了模拟\（T \）期间的过程，首先，我们需要构建给定\（p_ {11} \）和\（p_ {22} \）的转换矩阵。其次，我们需要从给定状态\（s_1 = 1 \）开始。从\（s_1 = 1 \）开始，我们知道有95％的概率停留在状态1，有5％的概率进入状态2。

p11 <- theta_v[1,5] 
p22 <- theta_v[1,6]
P <- matrix(c(p11,1-p22,1-p11,p22),2,2)
P[1,]
## [1] 0.95 0.05

模拟\（s_t \）是递归的，因为它先前先前的状态。因此，我们需要构造一个循环：

set.seed(13)
T_end <- 10^2

s0 <- 1 
st <- function(i) sample(1:2,1,prob = P[i,])

s <- st(s0)
for(t in 2:T_end) {
  s <- c(s,st(s[t-1]))
}
plot(s, pch = 20,cex = 0.5)

上图说明了过程\（s_t \）的持久性。在大多数情况下，状态1的“实现”多于状态2。实际上，这可以由固定概率确定，该固定概率由下式表示：

P_stat[1,]
## [1] 0.75 0.25

因此，经历时间的流逝，有15％的概率处于1状态，而有25％的概率处于状态2。这应该反映在模拟过程中  s，从而

mean(s==1
)## [1] 0.69

由于我们使用的是100个周期的小样本，因此我们观察到稳定概率为69％，接近但不完全等于75％。

结果

给定模拟的马尔可夫过程，结果过程的模拟非常简单。一个简单的技巧是模拟\（x_t \ mid s_t = 1 \）的\（T \）周期和\ （x_t \ mid s_t = 2 \）的\（T \）周期。然后，给定\（s_t \）的模拟，我们针对每个状态创建结果变量\（x_t \）。

plot(x~t_index, pch = 20)
points(x[s == 2]~t_index[s==2],col = 2)

虽然总体而言时间序列看起来是平稳的，但我们观察到一些周期（以红色突出显示）显示出较高的波动。有人可能会建议说，数据存在结构性中断，或者体制发生了变化，过程\（x_t \）变得越来越大，带有更多的负值。虽然如此，事后解释总是比较容易的。主要的挑战是识别这种情况。

估计参数

在本节中，我将使用R软件手动（从头开始）和非手动进行统计分解。在前者中，我将演示如何构造似然函数，然后使用约束优化问题来估计参数。我将说明如何在不经历解析推导的情况下进行复制。

似然函数-数值部分

首先，我们需要创建一个以\（\ Theta \）向量为主要输入的函数。其次，我们需要设置一个返回MLE的优化问题。

在优化似然函数之前。让我们看一下工作原理。假设我们知道参数\（\ Theta \）的向量，并且我们有兴趣使用\（x_t \）上的数据评估隐藏状态随时间的变化。

显然，这两种状态的每次过滤器的总和应为1。看起来，我们可以处于状态1或状态2。

all(round(apply(Filter[,-1],1,sum),9) == 1)
## [1] TRUE

由于我们设计了此数据，因此我们知道状态2的时期。

plot(Filter[,3]~t_index, type = "l", ylab = expression(xi[2]))
points(Filter[s==2,3]~t_index[s==2],pch = 20, col = 2)

过滤器背后的优点是仅使用\（x_t \）上的信息来识别潜在状态。我们观察到，状态2的过滤器主要在状态2发生时增加。这可以通过发出红点的概率增加来证明，红点表示状态2发生的时间段。尽管如此，上述还是存在一些重大问题。首先，它假定我们知道参数\（\ Theta \），而实际上我们需要对此进行估计，然后在此基础上进行推断。其次，所有这些都是在样本中构造的。从实际的角度来看，决策者对预测的概率及其对未来投资的影响感兴趣。

手动估算

为了优化上面定义的  HMM_Lik 功能，我将需要执行两个附加步骤。首先是建立一个初始估计值，作为搜索算法的起点。其次，我们需要设置约束条件以验证估计的参数是否一致，即非负波动性和介于0和1之间的概率值。

第一步，我使用样本创建初始参数向量\（\ Theta_0 \）

在第二步中，我为估算制定了约束

请注意，参数的初始向量应满足约束条件

all(A%*%theta0 >= B)
## [1] TRUE

最后，回想一下，通过构建大多数优化算法都可以搜索最小点。因此，我们需要将似然函数的输出更改为负值。

## $par
## [1]  1.7119528 -1.9981224  0.8345350  2.2183230  0.9365507  0.8487511
## 
## $value
## [1] 174.7445
## 
## $counts
## function gradient 
##     1002       NA 
## 
## $convergence
## [1] 0
## 
## $message
## NULL
## 
## $outer.iterations
## [1] 3
## 
## $barrier.value
## [1] 6.538295e-05

为了检查MLE值是否与真实参数一致，我们绘制估计值与真实值的关系图：

plot(opt$par ~ theta_known,pch = 20,cex=2,ylab="MLE",xlab = "True")
abline(a=0,b=1,lty=2)

总体而言，我们观察到估计值非常一致，由于MLE的一致性属性，这不足为奇。

估算

我将在下面演示如何使用r软件复制人工估算的结果  。

如果我们要忽略过程中的任何体制转换，我们可以简单地将参数\（\ mu \）和\（\ sigma \）估计为

kable(mod_est, "html", booktabs = F,escape = F) %>% 
        kable_styling(position = "center")

平均而言，我们应该期望过程平均值约为1，即\（0.75 \ times 2 + 0.25 \ times（-1）= 1 \）。这是由总期望属性定律得出的，其中我们知道\ [\ begin {equation} \ mathbb {E} [x] = \ sum _ {\ forall s} \ mathbb {E} \ left [x \ mid s \右] \ mathbb {P}（s）= \ sum _ {\ forall s} \ mu_ {s} \ pi_ {s} \ end {equation} \]

这样

EX <- 0.75*2 + 0.25*-2
EX
## [1] 1

对于波动率，适用相同的逻辑。

EX2 <- (2^2 + 1^2)*0.75 + ((-2)^2 + 2^2)*0.25
VX <- EX2 - EX^2
sqrt(VX)
## [1] 2.179449

我们注意到，回归估计值与波动率的一致性高于均值。这主要是由于估算第一时刻与第二时刻的工作比较繁琐。

上面的观点是，估计值并未涵盖数据的真实性质。如果我们假设数据是固定的，那么我们错误地估计过程的平均值为62％。但是，与此同时，我们通过构造知道该过程表现出两个平均结果-一个正面和一个负面。波动性也是如此。

为了揭示这些模式，我们在下面演示如何使用上面的线性模型部署状态切换模型：

主要输入是拟合模型，  mod我们将其归纳为适应切换状态。第二个  k是制度的数量。由于我们知道我们要处理两个状态，因此将其设置为2。但是，实际上，需要参考一种信息标准来确定最佳状态数。根据定义，我们有两个参数，均值\（\ mu_s \）和波动率\（\ sigma_s \）。因此，我们添加一个true / false向量来指示正在切换的参数。在上面的命令中，我们允许两个参数都切换。最后，我们可以指定估计过程是否正在使用并行计算进行。

要了解模型的输出，让我们看一下

## Markov Switching Model
## 
## 
##        AIC     BIC    logLik
##   352.2843 366.705 -174.1422
## 
## Coefficients:
##         (Intercept)(S)    Std(S)
## Model 1       1.711693 0.8346013
## Model 2      -2.004137 2.2155742
## 
## Transition probabilities:
##            Regime 1  Regime 2
## Regime 1 0.93767719 0.1510052
## Regime 2 0.06232281 0.8489948

上面的输出主要报告我们尝试手动估算的六个估算参数。首先，系数表报告了每个状态的均值和波幅。模型1的平均值为1.71，波动率接近1。模型2的平均值为-2，波动率约为2。显然，该模型针对数据确定了两种具有不同均值和波动率的不同状态。其次，在输出的底部，拟合的模型报告过渡概率。

plot(opt$par ~ theta_known,pch = 20,cex=2,ylab="MLE",xlab = "True")
points(theta_mswm~theta_known,pch = 1,col = 2, cex = 2,lwd = 2)
abline(a=0,b=1,lty=2)
legend("topleft",c("Manual","MSwM"), pch = c(20,1), col = 1:2)

有趣的是，就每种状态的过滤器而言，我们将从包中检索到的状态与手动提取的状态进行比较。根据定义，可以使用mod.mswm 对象上的图函数  来了解平滑概率以及确定的方案。

par(mar = 2*c(1,1,1,1),mfrow = c(2,1))
plotProb(mod.mswm,2)

顶部的图表示随时间变化的过程\（x_t \），其中灰色阴影区域表示\（\ hat {\ xi} _ {T \ mid t，1}> 0.5 \）的时间段。换句话说，灰色区域表示状态1占优势的时间段。

plot(x~t_index,type ="l",col = 0,xlim=c(1,100))
rect(xx-1,-10,xx,10,col = "lightgray",lty = 0)
lines(x~t_index)
points(x[s==2] ~ t_index[s==2],col = 1,pch = 20)

过滤器会在一个周期内检测到第二种状态。发生这种情况是因为  plotProb 在这种情况下，返回的是平滑概率，即在实现整个样本\（T \）后处于每种状态的概率，即\（\ hat {\ xi} _ {t \ mid T，1} \ ）。另一方面，来自手动估计的一个对应于推断概率\（\ hat {\ xi} _ {t \ mid t，1} \）。

无论如何，由于我们知道状态的真实值，因此可以确定我们是否处于真实状态。我们在上面的图中使用黑点突出显示状态2。总的来说，我们观察到模型在检测数据状态方面表现非常出色。唯一的例外是第60天，其中推断概率大于50％。要查看推理概率多长时间正确一次，我们运行以下命令

mean(Filter$Regime_1 == (s==1)*1)
## [1] 0.96

结束语

此过程似乎运行良好。然而，在实际数据实现方面仍然存在许多挑战。首先，我们不具备有关数据生成过程的知识。其次，状态不一定实现。因此，这两个问题可能会破坏状态切换模式的可靠性。在应用方面，通常部署此类模型以评估经济或市场状况。从决策上来说，这也可以为策略分配提供有趣的应用。