🌞一、实验目的
- 利用神经网络识别螺旋状数据集（python实现）；
- 正确理解深度学习所需的数学知识。
🌞二、实验准备
- 根据GPU安装pytorch版本实现GPU运行实验代码；
- 配置环境用来运行 Python、Jupyter Notebook和相关库等相关库。
🌞三、实验内容
资源获取：关注公众号【科创视野】回复 深度学习
🌼1. 生成螺旋状数据集
（1）利用numpy库生成螺旋状数据集，python源码如下：
# coding: utf-8 import numpy as np def load_data(seed=2020264): #🍕🍕🍕生成数据集🍕🍕🍕 np.random.seed(seed) #设置随机数种子 N = 100 # 各类的样本数 DIM = 2 # 数据的元素个数 CLS_NUM = 3 # 类别数 x = np.zeros((N*CLS_NUM, DIM)) t = np.zeros((N*CLS_NUM, CLS_NUM), dtype=np.int) for j in range(CLS_NUM): for i in range(N):#N*j, N*(j+1)): rate = i / N radius = 1.0*rate theta = j*4.0 + 4.0*rate + np.random.randn()*0.2 ix = N*j + i x[ix] = np.array([radius*np.sin(theta), radius*np.cos(theta)]).flatten() t[ix, j] = 1 return x, t
解释：
1.代码中导入了numpy库，用于生成和处理数组。
2.load_data函数：该函数用于生成数据集。接受一个seed参数，用于设置随机数生成的种子，以确保结果的可重复性。
3.设置参数：在函数内部，定义了几个参数，包括样本数N、数据的元素个数DIM和类别数CLS_NUM。这些参数用于确定生成数据的规模和属性。
4.初始化数组：通过np.zeros函数创建了两个数组x和t，用于存储生成的样本和对应的标签。
5.数据生成循环：通过两个嵌套的循环，依次生成每个类别的样本。外层循环遍历类别数，内层循环生成每个类别中的样本。
6.样本生成：在内层循环中，首先根据当前类别和样本索引计算出一个比例rate，用于确定样本的半径。然后，根据一定的规则计算样本的极坐标位置（半径和角度），并引入一定的随机扰动。最后，将样本的极坐标位置转换为笛卡尔坐标位置，并存储在数组x中。
7.标签生成：在内层循环中，通过将当前样本所属类别对应的位置设为1，将标签存储在数组t中。
8.返回结果：最后，函数返回生成的样本数组x和标签数组t。
🌼2. 打印数据集
在加载完数据集后，利用plt将生成的数据集打印出来，python源码如下：
# coding: utf-8 import sys sys.path.append('..') # 为了引入父目录的文件而进行的设定 import matplotlib.pyplot as plt x, t = load_data() print('x', x.shape) # (300, 2) print('t', t.shape) # (300, 3) # 绘制数据点 N = 100 CLS_NUM = 3 markers = ['o', 'x', '^'] for i in range(CLS_NUM): plt.scatter(x[i*N:(i+1)*N, 0], x[i*N:(i+1)*N, 1], s=40, marker=markers[i]) plt.show()
解释：
1.导入sys和matplotlib.pyplot库。sys库用于在代码中添加父目录的路径，而matplotlib.pyplot库用于数据可视化。
2.添加父目录路径：通过sys.path.append('..')语句，将父目录路径添加到代码中。这样做是为了能够引入父目录中的文件，这里是为了引入之前定义的load_data()函数。
3.调用load_data()函数：通过调用load_data()函数，生成数据集的特征数组x和标签数组t。
4.打印数组形状：通过print()语句打印出数据集特征数组x和标签数组t的形状。x.shape输出的结果是(300, 2)，表示x数组有300行和2列；t.shape输出的结果是(300, 3)，表示t数组有300行和3列。这里的形状信息给出了生成数据集的维度信息。
5.绘制数据点：接下来，通过使用matplotlib.pyplot库来绘制数据集的散点图。循环遍历每个类别，利用plt.scatter()函数绘制对应类别的数据点。函数中的参数包括样本的x坐标和y坐标，使用不同的标记形状markers[i]和尺寸s=40来区分不同类别的数据点。
6.显示图像：最后，通过plt.show()函数显示绘制的图像，将数据集的散点图展示出来。
结果图为：
🌼3. 编程实现
🌻仿射层-Affine类
class Affine: def __init__(self,W,b): self.params = [W,b]#保存参数 self.grads = [np.zeros_like(W),np.zeros_like(b)]#保存梯度 self.x = None def forward(self,x): W,b = self.params out = np.dot(x,W) + b self.x = x return out def backward(self,dout): W,b = self.params dx = np.dot(dout,W.T) dW = np.dot(self.x.T,dout) db = np.sum(dout,axis=0) self.grads[0][...] = dW self.grads[1][...] = db return dx
解释：
1.Affine类表示神经网络中的仿射层（Affine Layer）。类的初始化方法（__init__）：该方法在创建Affine类的实例时被调用。它接受两个参数W和b，分别表示仿射层的权重和偏置。在方法中，首先创建了一个params列表，用于保存权重和偏置参数。然后创建了一个grads列表，用于保存权重和偏置参数的梯度。最后，初始化了一个x变量，并将其设为None。
2.前向传播方法（forward）：该方法接受一个输入x，并根据保存的权重和偏置参数进行仿射变换。首先，从params列表中获取权重W和偏置b。然后，通过计算输入x与权重W的乘积，并加上偏置b，得到输出out。最后，将输入x保存在self.x变量中，并返回输出out。
3.反向传播方法（backward）：该方法接受一个上游梯度dout，并根据保存的权重和输入x计算梯度。首先，从params列表中获取权重W和偏置b。然后，通过上游梯度dout与权重W的转置的乘积，得到对输入x的梯度dx。接下来，计算权重W的梯度dW，通过将输入x的转置与上游梯度dout的乘积得到。最后，计算偏置b的梯度db，通过对上游梯度dout按列求和得到。
4.更新梯度和返回梯度：在方法的最后，通过将权重和偏置的梯度分别赋值给self.grads列表中对应的元素，来更新梯度信息。使用[...]操作符可以确保在赋值时不改变梯度数组的形状和数据类型。最后返回输入的梯度dx，以便反向传播给前一层。
🌻传播层-Sigmoid类
class Sigmoid: def __init__(self): self.params = [] self.grads = [] self.out = None def forward(self,x): out = 1 / (1 + np.exp(-x)) self.out = out return out def backward(self,dout): dx = dout * (1.0 - self.out) * self.out return dx
解释：
1.Sigmoid类表示一个Sigmoid函数。类的初始化：在__init__方法中，定义了三个实例变量params、grads和out，分别用于存储参数、梯度和前向传播的输出结果。这些变量在类的实例化时被创建，并初始化为空。
2.前向传播：在forward方法中，接收输入x作为参数。通过应用Sigmoid函数的定义，计算出输出out，即 1 / (1 + np.exp(-x))。然后将计算结果赋值给实例变量self.out，以便在反向传播中使用，并返回输出out。
3.反向传播：在backward方法中，接收反向传播的上游梯度dout作为参数。通过应用Sigmoid函数的导数公式，计算出输入x的梯度dx，即 dout * (1.0 - self.out) * self.out。然后返回计算得到的梯度dx。
🌻损失函数相关类
def softmax(x): if x.ndim == 1: x = x - np.max(x) x = np.exp(x)/np.sum(np.exp(x)) elif x.ndim == 2: x = x - x.max(axis = 1,keepdims = True) x = np.exp(x) x /= x.sum(axis=1, keepdims=True) return x def cross_entropy_error(y,t): if y.ndim == 1: t = t.reshape(1,t.size) y = y.reshape(1,y.size) #因为监督标签是one-hot-vector形式，所以这里要取下标 if t.size == y.size: t = t.argmax(dim=1) batch_size = y.shape[0] #没看懂为啥 return -np.sum(np.log(y[np.arange(batch_size), t] + 1e-7)) / batch_size class SoftmaxWithLoss: def __init__(self): self.params = [] self.grads = [] self.y = None #softmx的输出 self.t = None #监督标签 def forward(self,x,t): self.t = t self.y = softmax(x) if self.t.size == self.y.size: self.t = self.t.argmax(axis=1) loss = cross_entropy_error(self.y,self.t) return loss def backward(self,dout =1): batch_size = self.t.shape[0] dx = self.y.copy() dx[np.arange(batch_size),self.t] -= 1 dx *= dout dx = dx/batch_size return dx
解释：
1. softmax函数实现了Softmax函数的计算，接受一个数组x作为输入，根据输入的维度情况进行不同的计算。
当x的维度是1维时，首先将x减去最大值，然后计算每个元素的指数，并除以所有指数的和，得到Softmax函数的输出。
当x的维度是2维时，首先将x每行减去对应行的最大值，然后计算每个元素的指数，并除以每行指数的和，得到Softmax函数的输出。
最后，返回计算得到的Softmax函数的输出。
2. cross_entropy_error函数:实现交叉熵损失函数的计算。接受两个数组y和t作为输入，根据输入的维度情况进行不同的计算。
首先，根据输入的维度情况将t的形状调整为和y相同的形状，以便进行计算。
如果t的大小和y的大小相同，说明t是以one-hot向量形式表示的监督标签，这里将其转换为对应的类别索引。
接着，根据批量的大小计算交叉熵损失，通过对y使用np.arange(batch_size)和t的索引，取出正确类别的预测概率，并计算其对数，然后求和并取负数，最后除以批量大小得到平均损失。
最后，返回计算得到的交叉熵损失。
3. SoftmaxWithLoss类:这个类实现了Softmax with Loss层，包含了前向传播和反向传播的计算。
__init__方法用于初始化类的实例变量，包括参数列表params、梯度列表grads，以及用于保存Softmax函数的输出y和监督标签t的变量。
forward方法用于执行前向传播计算，接受输入x和监督标签t作为参数。在该方法中，首先将t赋值给实例变量self.t，然后使用softmax函数计算x的Softmax输出y。接着根据t的维度情况将t转换为类别索引形式。最后调用cross_entropy_error函数计算Softmax with Loss的损失并返回。
backward方法用于执行反向传播计算，接受一个可选的上游梯度dout作为参数，默认为1。在该方法中，首先获取监督标签的批量大小，然后创建一个梯度副本dx，并将其初始化为Softmax函数输出y的副本。接下来，根据监督标签的索引，在dx中将正确类别的位置减去1，以计算Softmax with Loss层的梯度。然后，将梯度乘以上游梯度dout，并除以批量大小，以获得平均梯度。最后，返回计算得到的梯度dx。
🌻三层神经网络类-ThreeLayerNet
class ThreeLayerNet: def __init__(self,input_size,hidden_size1,hidden_size2,output_size): I,H1,H2,O = input_size,hidden_size1,hidden_size2,output_size #初始化权重和偏置 W1 = 0.01 * np.random.randn(I,H1) #形状：I*H b1 = np.zeros(H1) W2 = 0.01 * np.random.randn(H1,H2) b2 = np.zeros(H2) W3 = 0.01 * np.random.randn(H2,O) b3 = np.zeros(O) #生成层 self.layers = [ Affine(W1,b1), Sigmoid(), Affine(W2,b2), Sigmoid(), Affine(W3,b3) ] #Softmax With Loss层和其他层的处理方式不同 #所以不将它放在layers列表中，而是单独存储在变量loss_layer中 self.loss_layer = SoftmaxWithLoss() self.params,self.grads = [],[] for layer in self.layers: self.params += layer.params self.grads += layer.grads def predict(self,x): for layer in self.layers: x = layer.forward(x) return x def forward(self,x,t): score = self.predict(x) loss = self.loss_layer.forward(score,t) return loss def backward(self,dout = 1): dout = self.loss_layer.backward(dout) for layer in reversed(self.layers): dout = layer.backward(dout) return dout
解释：
1.这里我实现了一个三层神经网络的类ThreeLayerNet，该类包含了网络的初始化、前向传播、反向传播和预测等方法。在初始化方法__init__中，定义了神经网络的结构和初始化权重和偏置。input_size表示输入层的大小，hidden_size1和hidden_size2表示两个隐藏层的大小，output_size表示输出层的大小。
2.权重的初始化采用了高斯分布随机初始化，通过np.random.randn生成服从标准正态分布的随机数，并乘以0.01进行缩放。偏置初始化为全零向量。
3.下面生成了三个层的实例，并按照顺序存储在self.layers列表中，分别是全连接层（Affine）、激活函数层（Sigmoid）和输出层（Softmax With Loss）。为了方便参数更新，将各层的参数和梯度分别存储在self.params和self.grads列表中。
4.predict方法用于进行前向传播，通过遍历self.layers列表，依次调用每个层的前向传播方法forward，并将输出作为下一层的输入，最终返回最后一层的输出结果。
5.forward方法在进行预测的同时，计算了损失值。首先调用predict方法获取输出结果，然后将输出结果和目标值t传入损失层self.loss_layer的前向传播方法forward，计算得到损失值，并返回。
6.backward方法用于进行反向传播，接收一个梯度dout作为输入，该梯度的默认值为1。首先将梯度传递给损失层self.loss_layer的反向传播方法backward，得到更新后的梯度。然后按照相反的顺序遍历self.layers列表，依次调用每个层的反向传播方法backward，将更新后的梯度传递给前一层，最终返回最初输入层的梯度。
🌻随机梯度下降法的类-SGD
class SGD: ''' 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent） ''' def __init__(self, lr=0.01): self.lr = lr def update(self, params, grads): for i in range(len(params)): params[i] -= self.lr * grads[i]
解释：
1.这里我实现了随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，SGD）的类SGD，用于更新神经网络的参数。在初始化方法__init__中，定义了学习率lr，默认值为0.01。学习率控制了每次参数更新的步长。
2.update方法接收两个参数：params是网络中的参数列表，grads是对应参数的梯度列表。该方法根据SGD的更新规则，对每个参数进行更新。
3.在循环中，遍历了参数列表params和梯度列表grads的索引。对于每个参数和对应的梯度，使用梯度乘以学习率的方式更新参数。这里采用了原地更新，即直接在参数列表中更新参数的值。
4.通过减去学习率乘以梯度，实现了参数的更新。
🌻训练过程
#1.设定超参数 max_epoch = 300 batch_size = 30 hidden_size = 10 learning_rate =3.5 #2.读入数据，生成模型和优化器 x,t = load_data() model = ThreeLayerNet(input_size=2,hidden_size1=hidden_size,hidden_size2=hidden_size,output_size=3) optimizer = SGD(lr=learning_rate) #学习用的变量 data_size = len(x) max_iters = data_size // batch_size total_loss = 0 loss_count = 0 loss_list = [] for epoch in range(max_epoch): #3.打乱数据 idx = np.random.permutation(data_size) x = x[idx] t = t[idx] for iters in range(max_iters): batch_x = x[iters*batch_size:(iters+1)*batch_size] batch_t = t[iters*batch_size:(iters+1)*batch_size] #4.计算梯度，更新参数 loss = model.forward(batch_x,batch_t) model.backward() optimizer.update(model.params,model.grads) total_loss += loss loss_count += 1 #5.定期输出学习过程 if (iters+1)%10 == 0: avg_loss = total_loss / loss_count print('| epoch %d | iterations %d / %d | loss %0.2f'% (epoch+1,iters + 1,max_iters,avg_loss)) loss_list.append(avg_loss) total_loss,loss_count = 0,0
解释：
1.这里我实现了一个训练过程的循环，其中包含了数据处理、模型的前向传播、反向传播以及参数更新的步骤。首先，在代码中设定了一些超参数，包括最大迭代次数max_epoch、批大小batch_size、隐藏层大小hidden_size和学习率learning_rate。接下来，通过调用load_data函数读取数据，然后创建了一个ThreeLayerNet类的实例model，指定了输入层大小为2、两个隐藏层大小为hidden_size、输出层大小为3的网络结构。同时，创建了一个SGD类的实例optimizer，传入学习率learning_rate。接着，初始化了一些用于学习过程的变量，包括数据集大小data_size、每个迭代中的最大批次数max_iters、总损失total_loss、损失计数loss_count和损失列表loss_list。
2.下面是主要的训练循环，通过max_epoch控制迭代次数。在每个迭代中，首先进行数据的打乱操作，使用np.random.permutation对数据索引进行随机排列，然后根据打乱后的索引重新排列输入数据x和目标数据t，实现数据的随机化。然后，在每个迭代中，根据最大批次数max_iters遍历数据集。每次迭代从数据集中选取一批数据，包括输入数据batch_x和目标数据batch_t，并进行以下步骤：
调用模型的forward方法，计算当前批次的损失值，并返回该损失值。
调用模型的backward方法，根据损失值进行反向传播，计算参数的梯度。
调用优化器的update方法，根据梯度更新模型的参数。
3.累计当前批次的损失值到total_loss中，并增加loss_count计数器。如果当前批次的迭代次数是10的倍数，输出当前迭代的平均损失值，并将其添加到loss_list列表中。将total_loss和loss_count重置为0，为下一个迭代做准备。
训练循环的目的是通过多次迭代和参数更新，逐渐减小损失值，使模型适应训练数据，实现模型的训练过程。输出的学习过程中的损失值可以用于监控训练的进展。
运行迭代300次的结果图如下：
x, t = load_data() # 绘制数据点 N = 100 CLS_NUM = 3 markers = ['o', 'x', '^'] # 绘制决策边界 h = 0.001 x_min, x_max = x[:, 0].min() - .1, x[:, 0].max() + .1 y_min, y_max = x[:, 1].min() - .1, x[:, 1].max() + .1 xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h), np.arange(y_min, y_max, h)) X = np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()] score = model.predict(X) predict_cls = np.argmax(score, axis=1) Z = predict_cls.reshape(xx.shape) plt.contourf(xx, yy, Z) for i in range(CLS_NUM): plt.scatter(x[i*N:(i+1)*N, 0], x[i*N:(i+1)*N, 1], s=40, marker=markers[i]) plt.axis('off') # 是否关闭坐标轴 plt.show()
解释：
1.这里用于绘制数据点和模型的决策边界。首先，调用load_data函数加载数据，并将输入数据赋值给变量x，目标数据赋值给变量t。接着，定义了一些用于绘制的参数。N表示每个类别的数据点数量，CLS_NUM表示类别的数量，markers是绘制数据点时使用的标记符号。然后，通过指定步长h和输入数据的范围，创建了一个网格xx和yy，用于在整个输入空间上生成一组点。这些点将用于计算模型的预测结果，并绘制决策边界。
2.通过调用模型的predict方法，对生成的点进行预测。X是一个二维数组，每一行表示一个点的坐标。将这些点作为输入，得到模型的预测结果score，其中score是一个二维数组，表示每个点属于不同类别的概率。
3.使用np.argmax函数找到每个点概率最大的类别索引，得到预测的类别标签predict_cls。然后将predict_cls重新调整为与网格一样的形状，得到二维数组Z，用于绘制决策边界。
4.使用plt.contourf函数绘制决策边界，通过填充不同区域的颜色来表示不同的类别。
5.接下来，使用循环遍历每个类别，并使用plt.scatter函数绘制每个类别的数据点。通过切片操作x[i*N:(i+1)*N, 0]和x[i*N:(i+1)*N, 1]，选择属于当前类别的数据点的坐标，并使用对应的标记符号进行绘制。
6.最后，通过plt.axis('off')设置是否关闭坐标轴，并调用plt.show()显示绘制的图像。
由此产生的图像可以看到相较于两层神经网络的效果更好，三层神经网络的结果如下所示：
🌻绘制迭代效果图
# loss_list----记录300次迭代次数 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt #正确显示中文和负号 plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False # 数据准备 x3=range(1,301) y3=loss_list # 设置画布大小 plt.figure(figsize=(12, 5)) # plot 画x与y和x与z的关系图 plt.plot(x3,y3,label='损失函数',color='#1F77B4', linewidth=1,marker='',markersize=3) # 设置x轴标签、坐标轴范围，坐标轴刻度，坐标轴刻度旋转角度 plt.xlabel('iterations(x10)',size=14) plt.xlim(0,300) plt.xticks([0,50,100,150,200,250,300],rotation=0,size=12) # # 设置y轴标签、坐标轴范围，坐标轴刻度，坐标轴刻度旋转角度 plt.ylabel('loss',size=14) plt.ylim(0,1.2) plt.yticks([0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2],rotation=0,size=12) #标题 plt.title('损失函数',size=18) # 紧凑布局：自动调整图形、坐标轴、标签之间的距离，对于多个子图时尤其有用。 plt.tight_layout() # 设置显示图例，要在plt.plot 时设置 label='xxx'才能显示图例 plt.legend() #加网格线 plt.grid(True) # 保存图像，可以是任意后缀名，dpi设置图像清晰度 #plt.savefig('./fig1.pdf', dpi=600) #要放在plt.show()之前，否作保存的图像为空白 # 显示图像 plt.show()
解释：
1.设置中文和负号显示：通过设置plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']和plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False来确保图表中的中文和负号能够正确显示。
2.数据准备：定义了一个x轴的范围从1到300，以及一个y轴的数据列表loss_list，用于记录300次迭代的损失函数值。
3.设置画布大小：通过plt.figure(figsize=(12, 5))设置绘图画布的大小为宽度12英寸、高度5英寸。
4.绘制曲线：使用plt.plot(x3, y3, label='损失函数', color='#1F77B4', linewidth=1, marker='', markersize=3)绘制曲线，x轴为迭代次数，y轴为损失函数值。label='损失函数'用于在图例中显示曲线的标签，color='#1F77B4'设置曲线的颜色，linewidth=1设置曲线的线宽，marker=''表示不显示数据点的标记，markersize=3设置数据点的大小。
5.设置坐标轴和刻度：使用plt.xlabel('iterations(x10)', size=14)设置x轴的标签为'iterations(x10)'，plt.xlim(0, 300)设置x轴的范围为0到300，plt.xticks([0,50,100,150,200,250,300],rotation=0,size=12)设置x轴的刻度为[0, 50, 100, 150, 200, 250, 300]，rotation=0表示刻度标签不旋转，size=12表示刻度标签的字体大小。
6.设置y轴的标签和刻度同理。设置标题：使用plt.title('损失函数', size=18)设置图表的标题为'损失函数'，size=18表示标题的字体大小。
7.调整布局：使用plt.tight_layout()自动调整图形、坐标轴、标签之间的距离，使其紧凑显示。
8.显示图例：使用plt.legend()显示图例，前提是在绘制曲线时设置了label='损失函数'。添加网格线：使用plt.grid(True)添加网格线。
实验结果如下：
🌞四、实验心得
通过这次实验，我成功创建了一个用于识别螺旋状的数据集三层神经网络，并对深度学习所需的数学知识有了更深入的理解。
一开始，我选择了ReLU激活函数，但是在调整学习率时无法找到合适的参数。因此改用Sigmoid作为激活函数。通过建立三层神经网络，我发现之前适用于两层神经网络的学习率并不适用于三层神经网络，需要重新寻找适合的学习率，而学习率设置得太小会导致学习的收敛速度变慢。
通过对比两层和三层神经网络的训练结果，我发现它们之间存在明显的差异，特别是在中心点区域。这说明增加网络的层数可以更好地拟合复杂的数据集，但也需要仔细调整参数以确保网络的有效训练。
两层神经网络结果：
三层神经网络结果：
