数据结构之时间复杂度

一、时间复杂度的概念

       时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

下面举一个具体的例子：

void Func1(int N)
{
  int count = 0;
  for (int i = 0; i < N; ++i)
  {
    for (int j = 0; j < N; ++j)
    {
      ++count;
    }
  }
  for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
  {
    ++count;
  }
  int M = 10;
  while (M--)
  {
    ++count;
  }
  printf("%d\n", count);
}

在这个例子中Func1 执行的基本操作次数 ：

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

二、大O的渐进表示法

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为： 。

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。什么意思？就是比如说上面的代码，当N=1000时（可以将N看成无穷大）， =1000000，而 =1002010， 所产生的和2010相对于 所产生的1000000显得对结果影响不大（2010在1000000面前就是弟弟），所以入上面的例子所示，Func1的时间复杂度写做： 。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)。

三、常见时间复杂度计算举例

例1:

void Func3(int N, int M)
{
  int count = 0;
  for (int k = 0; k < M; ++k)
  {
    ++count;
  }
  for (int k = 0; k < N; ++k)
  {
    ++count;
  }
  printf("%d\n", count);
}

例1中时间复杂度为 ，因为不知道M和N的大小关系。若题目中有说到M远大于N，那么时间复杂度就为 ，N远大于M，那么时间复杂度就为 。

例2:

void Func4(int N)
{
  int count = 0;
  for (int k = 0; k < 100; ++k)
  {
    ++count;
  }
  printf("%d\n", count);
}

例2中时间复杂度为 。有人这时可能就会疑惑了，如果我将例2中的k改成10000或者是100000，那结果还会是 吗？答案是一定的。因为在现行的家用计算机的CPU运算速度大约为每秒50亿次。即使k取到32位机器下整数的最大值4294967296，大部分家用计算机依旧能够在一秒之内计算出来，所以只要当k取到常数次时，时间复杂度就是 。

例3:

void BubbleSort(int* a, int n)
{
  assert(a);
  for (size_t end = n; end > 0; --end)
  {
    int exchange = 0;
    for (size_t i = 1; i < end; ++i)
    {
      if (a[i - 1] > a[i])
      {
        Swap(&a[i - 1], &a[i]);
        exchange = 1;
      }
    }
    if (exchange == 0)
      break;
  }
}

例3基本操作执行最好N次（该数组本身就是有序的），最坏执行了N*(N-1)/2次（每相邻两个数之间都交换），通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)。

例4:

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
  assert(a);
  int begin = 0;
  int end = n - 1;
  // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
  while (begin <= end)
  {
    int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
    if (a[mid] < x)
      begin = mid + 1;
    else if (a[mid] > x)
      end = mid - 1;
    else
      return mid;
  }
  return -1;
}

例4为二分查找，基本操作执行最好1次（就是第一个中间数），最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。

为什么是logN?因为当N/2/2/2....=1,设除了x个2，此时 ，基本操作 。

例5:

long long Fac(size_t N)
{
  if (0 == N)
  {
    return 1;
  }
  return Fac(N - 1) * N;
}

例5通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。

例6:

long long Fib(size_t N)
{
  if (N < 3)
  {
    return 1;
  }
    
  return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

所以例6时间复杂度 = 。