一、前情回顾
👉传送门:1 详解线性查找法
👉传送门:2 线性查找的优化
👉传送门:3 线性查找的测试
👉传送门:4 循环不变量与复杂度分析
二、常见的时间复杂度
1.常见的时间复杂度
1.1 O ( n ) O(n)O(n)级别
✳️以线性查找法为例，对一个规模为n的数组做了一遍循环，时间复杂度叫做O(n)级别的
public static <E> int search(E[] data, E target){
for(int i = 0; i < data.length; i ++)
if(data[i].equals(target))
return i;
return -1;
}
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1.2 O ( n 2 ) O(n^2)O(n
2
)级别
❓提问： 一个数组中的元素可以组成哪些数据对?
for(int i = 0; i < data.length; i ++)
for(int j = i + 1; j < data.length; j ++)
//获得一个数据对(data[i],data[j])
1
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🙋回答： 使用双重循环来遍历这个数组，这个算法的时间复杂度是O ( n 2 ) O(n^2)O(n
2
)级别的
*️⃣虽然是O ( n 2 ) O(n^2)O(n
2
)级别的，但是这两重循环总共的执行的次数并不是n 2 n^2n
2
那么多次，差不多是n 2 / 2 n^2/2n
2
/2这么多次
每次j是从i+1开始的，遍历的数据对的i一定是小于j的，因为我们对于数据对的设计，认为(data[i],data[j])与(data[j],data[i])是一样的，所以大概扔掉了一半这样的数据对
✅但是对于这个算法，依然说它是O ( n 2 ) O(n^2)O(n
2
)级别的，因为前面的1/2它也是常数，对于算法复杂度的分析来说常数不重要
1.3 🚩复杂度分析,定要明确n是什么
❓提问： 遍历⼀个n ∗ n n*nn∗n 的⼆维数组
for(int i = 0; i < n; i ++)
for(int j = 0; j < n; j ++)
// 遍历到 A[i][j]
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⬆️这二维数组的两个维度，两个维度都为n，从这样的一个视角看，算法的时间复杂度是O ( n 2 ) O(n^2)O(n
2
)级别的
⬇️假如是一个a ∗ a a*aa∗a的二维数组，且a ∗ a = n a*a=na∗a=n，这个二维数组的维度变成了a，这个二维数组中的元素总个数是n
for(int i = 0; i < a; i ++)
for(int j = 0; j < a; j ++)
// 遍历到 A[i][j]
1
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➡️对于这个算法复杂度来说，实际上它是一个O ( a 2 ) O(a^2)O(a
2
)级别的算法，因为这个二位数组的维度变成了a，如果要使用n来表示的话，这个算法的时间复杂度就是O ( n ) O(n)O(n)级别的(因为a ∗ a = n a*a=na∗a=n)
✴️同样是一个二维循环，一个是O ( n 2 ) O(n^2)O(n
2
)级别的，一个是O ( n ) O(n)O(n)级别的——因为 n代表的意思不一样，前者的n表示的是这个二位数组的某一个维度是n，后者的n表示的是二维数组的元素总数为n
1.4 O ( l o g n ) O(log n)O(logn)级别
❓提问： 求某一个十进制数字n所对应的二进制的位数是多少
while(n){
n % 2; // n 的⼆进制中的⼀位
n /= 2;
}
//每一次n % 2的的操作的结果都是0或者是1，
//这就是n的二进制的某一位
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⌛️时间复杂度： 这个算法的时间复杂度是O ( l o g n ) O(log n)O(logn)级别，更严谨的说，对于当前这个算法应该是O ( l o g 2 n ) O(log_2 n)O(log
2
n)，因为n每次都是除以2，相当于看这个数字n能够被多少次除以2之后结果等于0
如果给一个数字n，求这个数字n所对应的十进制的表示的那个位数——比如16这个数所对应的十进制的表示就是1和6，如何可以求出来？求十进制的某一位，应该是n对10求余数，然后n除以10——这个算法的时间复杂度应该是O ( l o g 10 n ) O(log_{10} n)O(log
10
n)
✴️不管是O ( l o g 2 n ) O(log_2 n)O(log
2
n)还是O ( l o g 10 n ) O(log_{10} n)O(log
10
n)，或者是任意一个底数，通常管它叫做O ( l o g n ) O(log n)O(logn)级别的算法——省略掉底数是因为对于l o g loglog函数来说，不同的底数之间其实相差的只是一个常数而已
简单的使用换底公式做一下数学推导：
换底公式:
l o g a b = l o g c b l o g c a \boxed {log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}}
log
a
b=
log
c
a
log
c
b
令a=2,b=n,c=10,代入换底公式
l o g 2 n = l o g 10 n l o g 10 2 log_2 n = \frac{log_{10} n}{log_{10} 2}
log
2
n=
log
10
2
log
10
n
💡很明显，l o g 2 n log_2 nlog
2
n与l o g 10 n log_{10} nlog
10
n之间就差了一个1 l o g 10 2 \frac{1}{log_{10} 2}
log
10
2
1
，和n没有关系，
✔️对于算法复杂度分析来说常数不重要，因此l o g 2 n log_2 nlog
2
n与l o g 10 n log_{10} nlog
10
n是同一个复杂度
✔️同理，l o g loglog以任何数为底，都是一个复杂度——叫做O ( l o g n ) O(log n)O(logn)级别的复杂度，也就是常说的对数复杂度
🚩看一个算法的复杂度，不能简单的去数循环的个数
比如下面⬇️这个循环也是一重循环，并不是O ( n ) O(n)O(n)级别的复杂度，因为在这重循环中n每次都是在除以2，并非如同每次减1一个一个的减到0，而是每次除2直到0，是l o g n log nlogn的级别到达了0，因此不是O ( n ) O(n)O(n)级别的复杂度，而是O ( l o g n ) O(log n)O(logn)级别的复杂度
while(n){
n % 2; // n 的⼆进制中的⼀位
n /= 2;
}
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1.5 O ( l o g n ) O(log \sqrt{n})O(log
n
)级别
❓提问： 求解数字n的所有的约数——所谓一个数字a是n的约数，代表n可以将a给整除
🙋方法1： 遍历从1到n中的每一个数，i可以被n整除的情况下，i是n的一个约数
✅这个算法是一个O ( n ) O(n)O(n)级别的算法，对于这个问题进行优化
☑️优化： 一个数字的约数总是成对出现的，比如对于数字10，2是10的一个约数，用10除以2得到了5，5肯定也是10的一个约数
for(int i = 1; i <= n; i ++)
if(n % i == 0)
// i 是 n 的⼀个约数
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🙋方法2： 其实对于这个i来说，不需要遍历到≤n，当i ∗ i > n i*i>ni∗i>n的时候，就可以了
这种循环，循环的次数就少了很多
✅这个算法的时间复杂度是O ( l o g n ) O(log \sqrt{n})O(log
n
)
*️⃣因为遍历的次数是1 ~ n \sqrt{n}
n
，当i为n \sqrt{n}
n
的时候，就退出了循环
for(int i = 1; i * i <= n; i ++)
if(n % i == 0)
// i 和 n / i 是 n 的两个约数
//实际上还有`i == n / i`这种情况，这种特殊的情况只找到了一个约数
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1.6 指数级别的复杂度O ( 2 n ) O(2^n)O(2
n
)
❓提问： 求出长度为n的所有二进制数字，如长度为3的二进制数字共有8个，分别是0~7
✅这个算法的时间复杂度是O ( 2 n ) O(2^n)O(2
n
)，
*️⃣因为长度为n，相当于共有n个位置，每个位置填0或1，整体就是2 n 2^n2
n
个情况
1.7 阶乘级别的复杂度O ( n ! ) O(n!)O(n!)
❓提问： 求一个长度为n的数组的所有排列
✅用到了数学中的全排列公式，时间复杂度是O ( n ! ) O(n!)O(n!)
因为所有的排列的个数就是n ! n!n!
1.8 常数级别的复杂度O ( 1 ) O(1)O(1)
❓提问： 判断一个数字n是否是偶数
return n % 2 == 0
//没有余数它就是一个偶数
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✅这个算法的时间复杂度是O ( 1 ) O(1)O(1)，因为不管n有多大，只需要执行一个指令/判断，就能判断出它是否是偶数，这个算法和n的具体的大小无关
即使这个算法要执行10条指令，如果我们这个算法要执行10条指令，那么它也是一个O ( 1 ) O(1)O(1)级别的算法，因为执行的指令的个数与n的大小无关，它还是一个常数
1.9 常见时间复杂度的比较
O ( 1 ) < O ( l o g n ) < O ( l o g n ) < O ( n ) < O ( n l o g n ) < O ( n 2 ) < O ( 2 n ) < O ( n ! ) O(1)<O(log n)<O(log \sqrt{n})<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(2^n)<O(n!)O(1)<O(logn)<O(log
n
)<O(n)<O(nlogn)<O(n
2
)<O(2
n
)<O(n!)
2.空间复杂度
和时间复杂度完全是同理的，对于一个算法而言，需要开辟的额外的空间的大小和数据规模n之间的关系是怎样的？
✳️以线性查找为例，并没有开任何额外的空间，因此算法的空间复杂度就是O ( 1 ) O(1)O(1)级别的
public static <E> int search(E[] data, E target){
for(int i = 0; i < data.length; i ++)
if(data[i].equals(target))
return i;
return -1;
}
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✅通常来讲，在算法设计的过程中，不太强调空间复杂度，现在计算机内存越来越大，相较而言时间是更值钱的，很多算法设计的核心思想是用空间换时间
