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本文涉及知识点
C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频
2463. 最小移动总距离
X 轴上有一些机器人和工厂。给你一个整数数组 robot ，其中 robot[i] 是第 i 个机器人的位置。再给你一个二维整数数组 factory ，其中 factory[j] = [positionj, limitj] ，表示第 j 个工厂的位置在 positionj ，且第 j 个工厂最多可以修理 limitj 个机器人。
每个机器人所在的位置 互不相同 。每个工厂所在的位置也 互不相同 。注意一个机器人可能一开始跟一个工厂在 相同的位置 。
所有机器人一开始都是坏的，他们会沿着设定的方向一直移动。设定的方向要么是 X 轴的正方向，要么是 X 轴的负方向。当一个机器人经过一个没达到上限的工厂时，这个工厂会维修这个机器人，且机器人停止移动。
任何时刻，你都可以设置 部分 机器人的移动方向。你的目标是最小化所有机器人总的移动距离。
请你返回所有机器人移动的最小总距离。测试数据保证所有机器人都可以被维修。
注意：
所有机器人移动速度相同。
如果两个机器人移动方向相同，它们永远不会碰撞。
如果两个机器人迎面相遇，它们也不会碰撞，它们彼此之间会擦肩而过。
如果一个机器人经过了一个已经达到上限的工厂，机器人会当作工厂不存在，继续移动。
机器人从位置 x 到位置 y 的移动距离为 |y - x| 。
示例 1：
输入：robot = [0,4,6], factory = [[2,2],[6,2]]
输出：4
解释：如上图所示：
- 第一个机器人从位置 0 沿着正方向移动，在第一个工厂处维修。
- 第二个机器人从位置 4 沿着负方向移动，在第一个工厂处维修。
- 第三个机器人在位置 6 被第二个工厂维修，它不需要移动。
第一个工厂的维修上限是 2 ，它维修了 2 个机器人。
第二个工厂的维修上限是 2 ，它维修了 1 个机器人。
总移动距离是 |2 - 0| + |2 - 4| + |6 - 6| = 4 。没有办法得到比 4 更少的总移动距离。
示例 2：
输入：robot = [1,-1], factory = [[-2,1],[2,1]]
输出：2
解释：如上图所示： - 第一个机器人从位置 1 沿着正方向移动，在第二个工厂处维修。
- 第二个机器人在位置 -1 沿着负方向移动，在第一个工厂处维修。
第一个工厂的维修上限是 1 ，它维修了 1 个机器人。
第二个工厂的维修上限是 1 ，它维修了 1 个机器人。
总移动距离是 |2 - 1| + |(-2) - (-1)| = 2 。没有办法得到比 2 更少的总移动距离。
提示：
1 <= robot.length, factory.length <= 100
factory[j].length == 2
-109 <= robot[i], positionj <= 109
0 <= limitj <= robot.length
测试数据保证所有机器人都可以被维修。
动态规划
原理
性质一：r1和r2是两个机器人位置，且r1 < r2。令f1和r2是两个工厂位置，且f1 < f2。 选择一：f1修r1，f2修r2。选择二：f1修r2,f2修f1。方式一不劣于方式二。
下面分情况证明：
一，r2 <= f1。两个机器人都在左边，两种选择结果一样。可以这样理解，两个机器人都进f1，然后其中一个去f2。
二,r1 >= f2。两个机器人都在右边。两种选择结果一样。可以这样理解：两个机器人都近f2，然后其中一个去f1。
三，f1 < r1 < r2 < f2。绿线是选择一，红线是选择二。 
四，r1 < f1 f1 < r2 < f2 。
五，r1 < f1 r2 > f2。
六，f1<r1<f2 r2<r2。和情况四对称。
动态规划的状态表示
dp[i][j] 前i个工厂修理前j个机器人的最小移动距离。
动态规划的转移方程
最左边的i个工厂，修理了j个机器人，最后一个工厂修理了k个机器人。根据性质一，则这k个机器人一定是j个机器人中最右边的。
dp[i][j] = m i n k : 0 m i n ( l i m i t [ i ] , j ) \Large min_{k:0}^{min(limit[i],j)}mink:0min(limit[i],j) (pre[i-1][j-k])+移动k个机器人的总距离
左移的机器人和右移的机器人，分别利用前缀和计算总距离。先对机器人和工厂的位置排序，坐标小于等于工厂坐标机器人右移：
∑ 移动的机器人 ( 工厂到原点距离 − 机器人到原点的距离 ) → \sum _{移动的机器人} (工厂到原点距离-机器人到原点的距离) \rightarrow移动的机器人∑(工厂到原点距离−机器人到原点的距离)→工厂到原点的距离 ⋆ 移动的机器人数 − ∑ 移动的机器人 ( 机器人到原点的距离 ) 工厂到原点的距离\star 移动的机器人数 - \sum _{移动的机器人}(机器人到原点的距离)工厂到原点的距离⋆移动的机器人数−移动的机器人∑(机器人到原点的距离)
动态规划的初始值
dp[0][0]=0 其它3e11
动态规划的填表顺序
从左到右计算后置状态。
返回值
dp.back().back()
注意：
前缀和记录的是相对位置：坐标是负数也可以。
代码
核心代码
template<class ELE,class ELE2> void MinSelf(ELE* seft, const ELE2& other) { *seft = min(*seft,(ELE) other); } template<class ELE> void MaxSelf(ELE* seft, const ELE& other) { *seft = max(*seft, other); } template<class T = long long > class CPreSum { public: CPreSum(const vector<int>& nums) { m_data.push_back(0); for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { m_data.push_back(m_data[i] + nums[i]); } } template<class _PR> CPreSum(int iSize, _PR pr) { m_data.push_back(0); for (int i = 0; i < iSize; i++) { m_data.push_back(m_data[i] + pr(i)); } } T Sum(int left, int rightExclu)const { return m_data[rightExclu] - m_data[left]; } protected: vector<T> m_data; }; class Solution { public: long long minimumTotalDistance(vector<int>& robot, vector<vector<int>>& factory) { sort(robot.begin(), robot.end()); sort(factory.begin(), factory.end(), [&factory](auto& v1,auto& v2) {return v1[0] <v2[0]; }); int n1 = factory.size(), n2 = robot.size(); vector<int> vLeftCount; for (int i = 0, j = 0; i < n1; i++) { while ((j < n2) && (robot[j] <= factory[i][0])) { j++; } vLeftCount.emplace_back(j); } CPreSum preSum(robot); vector<vector<long long>> dp(n1 + 1, vector<long long>(n2 + 1,3e11)); dp[0][0] = 0; for (int i = 1; i <= n1; i++) { dp[i][0] = 0; for (int j = 1; j <= n2; j++) { for (int k = 0; k <= min(j, factory[i - 1][1]); k++) { const long long iLefttMove = min(k,max(0, j - vLeftCount[i - 1])); const long long llRightMove = k - iLefttMove; long long llMove = preSum.Sum(j - iLefttMove, j) - iLefttMove * factory[i - 1][0];//左移 llMove += factory[i - 1][0] * llRightMove - preSum.Sum(j-k,j-k+llRightMove); MinSelf(&dp[i][j], dp[i - 1][j - k] + llMove); } } } return dp.back().back(); } };
核心代码
template<class T> void Assert(const T& t1, const T& t2) { assert(t1 == t2); } template<class T> void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2) { if (v1.size() != v2.size()) { assert(false); return; } for (int i = 0; i < v1.size(); i++) { Assert(v1[i], v2[i]); } } int main() { vector<int> robot; vector<vector<int>> factory; { Solution sln; robot = { 0,4,6 }, factory = { {2,2},{6,2} }; auto res = sln.minimumTotalDistance(robot,factory); Assert(res,4LL); } { Solution sln; robot = { 1,-1 }, factory = { {-2,1},{2,1} }; auto res = sln.minimumTotalDistance(robot, factory); Assert(res, 2LL); } { Solution sln; robot = { 0,4,6 }, factory = { {-2,2},{-6,2} }; auto res = sln.minimumTotalDistance(robot, factory); Assert(res, 20LL); } }
2023年2月
class Solution {
public:
long long minimumTotalDistance(vector& robot, vector<vector>& factory) {
m_c = robot.size();
std::sort(robot.begin(), robot.end());
std::sort(factory.begin(), factory.end(), [](const vector& v0, const vector& v1)
{
return v0[0] < v1[0];
});
vector vPre(m_c + 1, m_llNotMay);
vPre[0] = 0;
for (const auto& v : factory)
{
vector dp = vPre;
for (int i = 0; i < m_c; i++)
{
if (m_llNotMay == vPre[i])
{
continue;
}
long long llMove = 0;
for (int j = 1; j <= v[1]; j++)
{
if (i + j > m_c)
{
break;
}
llMove += abs(v[0] - robot[i + j - 1]);
dp[i + j] = min(dp[i + j], vPre[i] + llMove);
}
}
vPre.swap(dp);
}
return vPre[m_c];
}
int m_c;
const long long m_llNotMay = ((long long)INT_MAX) * 1000;
};
2023年8月
class Solution {
public:
long long minimumTotalDistance(vector& robot, vector<vector>& factory) {
m_c = robot.size();
std::sort(robot.begin(), robot.end());
std::sort(factory.begin(), factory.end(), [](const vector& v1, const vector& v2)
{return v1[0] < v2[0]; });
vector vPre(m_c + 1, m_llNotMay);//vPre[i] 当前工厂及更早工厂修理i个机器人的最小移动距离
vPre[0] = 0;
for (const auto& v : factory)
{
vector dp = vPre;//本工厂不修理机器人
for (int pre = 0; pre < m_c; pre++)
{
long long llMove = 0;
for (int iDo = 1; iDo <= v[1]; iDo++)
{
const int next = pre + iDo;
if (next > m_c)
{
break;
}
llMove += abs(robot[next-1] - v[0]);
dp[next] = min(dp[next], vPre[pre] + llMove);
}
}
vPre.swap(dp);
}
return vPre.back();
}
int m_c;
const long long m_llNotMay = 1e12;
};
2023年9月
class Solution {
public:
long long minimumTotalDistance(vector& robot, vector<vector>& factory) {
sort(robot.begin(), robot.end());
sort(factory.begin(), factory.end(), [](const vector& v1, const vector& v2)
{
return v1[0] < v2[0];
});
long long llMinPos = min(*robot.begin(),(*factory.begin())[0]);
vector vPreSumDis(1);
for (const auto& n : robot)
{
vPreSumDis.emplace_back(vPreSumDis.back() + n- llMinPos);
}
vector pre(1);//pre[i] 当前站点之前的站点修改i个机器人的最小成本
int iRight = 0;//当前工厂右边的第一个机器人
for (int i = 0; i < factory.size(); i++)
{
const int iFactoryPos = factory[i][0];
for (; (iRight < robot.size()) && (robot[iRight] <= iFactoryPos); iRight++);
const int iSize = min(robot.size(), pre.size()-1 + factory[i][1]);
vector dp(iSize+1,1e12);
for (int j = 0; j<pre.size(); j++)
{
for (int k = 0; (k <= factory[i][1])&&(j+k <= robot.size()); k++)
{//[j,iRight)个机器上右移[iRight,j+k)个机器人左右移
const long long llMove = MoveRight(j, min(j + k, iRight), iFactoryPos, llMinPos, vPreSumDis)+
MoveLeft(max(j,iRight),j+k, iFactoryPos, llMinPos, vPreSumDis);
dp[j + k] = min(dp[j + k], llMove+pre[j]);
}
}
pre.swap(dp);
}
return pre.back();
}
long long MoveRight(int left, int right,const int iFactoryPos,const long long llMinPos, const vector& vPreSumDis)
{
if (right <= left )
{
return 0;
}
return (long long)(right - left) * (iFactoryPos - llMinPos) - (vPreSumDis[right] - vPreSumDis[left]);
}
long long MoveLeft(int left, int right, const int iFactoryPos, const long long llMinPos, const vector& vPreSumDis)
{
if (right <= left)
{
return 0;
}
return vPreSumDis[right] - vPreSumDis[left] - (long long)(right - left) * (iFactoryPos - llMinPos);
}
};
