回归分析概述

相关分析与回归分析

• 相关分析只表明变量间相关关系的性质和程度，回归分析是要确定变量间相关的具体数学形式
• 回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（目标）和自变量之间的关系

回归分析的一般步骤

• 1 确定回归分析中的解释变量和被解释变量
• 2 确定回归模型
• 3 建立回归方程
• 4 对回归方程进行各种检验
• 5 利用回归方程进行预测

线性回归

线性回归介绍

线性回归（linear regression）是分析变量间数量依存关系的统计分析方法。如果某一个变量随着另一个变量的变化而变化，并且它们的变化关系呈直线趋势，就可以用直线回归方程来定量地描述它们之间的数量依存关系，这就是线性回归分析。

一元线性回归的数学模型为：

上式表明，被解释变量y的变化可由两个部分解释：

第一，由解释变量x的变化引起的y的线性变化部分，即y=β0+β1x；

第二，由其他随机因素引起的y的变化部分，即ε。

【案例】：碘含量与患病率的分析

操作步骤：

①导入数据

②【分析】-->【回归】-->【线性】

③选择自变量和应变量，点击统计

④ 勾选如下图选项，点击继续，点击图

⑤ 勾选直方图和概率图

⑥选项按钮中直接使用默认参数即可。

⑦点击“确定”按钮，查看统计结果：

从描述统计中可以看到患病率和碘含量的平均值、标准偏差和个案数。

从相关性中可以看到，患病率和碘含量相关系数0.971,显著性为0。说明碘含量和患病率显著相关。

由表可见，只有一个自变量，变量选择的方法为强行输入法，也就是将所有的自变量都放入模型中。

上表可看到，是对回归方程拟合情况的描述，可知相关系数的取值（R），相关系数的平方即决定系数，决定系数值为0.943， 初步判断模型拟合效果良好。

对回归方程的显著性检验，一元线性回归方程的显著性检验 的原假设H0是β1=0，即回归系数与零无显著性差异。F=115.136，P=0.000，概率P值小于α，应该拒绝原假设，认为 回归系数与零存在显著差异，被解释变量（患病率）与解释变量（碘含量）的线性关系显著，可以用线性模型描述和反映它们之间的关系。

在一元线性回归分析中，回归方程的显著性检验和回归系数的显著性检验的作用是相同的，同时，回归方程的显著性检验中的F统计量等于回归系数的显著性检验中的t统计量的平方，即F=t2。

上面已经得出回归公式，接下来我们需要检验数据是否可以做回归分析，它对数据的要求是苛刻的，有必要就残差进行分析,下面是残差的正态性图形结果。

        从标准化残差直方图来看，左右两侧不完全对称；从标准化残差的P-P图来看，散点并没有全部靠近斜线，并不完美。 综合而言，残差正态性结果不是最好的，当然在现实分析当中， 理想状态的正态并不多见，接近或近似即可考虑接受。

曲线估计

曲线估计介绍

       变量间相关关系的分析中，变量之间的关系并不总表现为线性关系，非线性关系也是极为常见的，可通过绘制散点图的方式粗略考察这种非线性关系。

变量之间的非线性关系可以划分为本质线性关系和本质非线性关系。

• 本质线性关系：变量关系形式上虽然呈非线性关系（如二次曲线），但可通过变量变换转化为线性关系，最终可进行线性回归分析，建立线性模型
• 本质非线性关系：变量关系不仅形式上呈非线性关系，而且无法通过变量变换转化为线性关系，最终无法进行线性回归分析和建立线性模型

注意： 曲线估计是解决本质线性关系问题的！

【案例】——年人均可支配收入与教育支出的关系分析

操作步骤：

①导入数据

②【分析】-->【回归】-->【曲线估计】

③选择因变量、个案标签等

④点击“确定”按钮，结果如下：

       在模型描述中可以看到，因变量：教育支出，自变量为：年人均可支配收入。方程有4个，一个线性方程，一个二次方程，一个 三次方程，一个复合方程。包括常量。

从“个案处理摘要”可以看出，排除的个案为12，说明变量中所有 的个案带有“缺失值”，个案总数为28个。

从变量处理摘要中可以看到，教育支出16个，有12个缺失值。 年人均可支配收入28个，没有缺失值。

一元线性回归方程，拟合优度判定系数为0.901，显著性小于0.05。

二次曲线回归方程，拟合优度判定系数为0.983。回归方程和各回归系数显著性大于0.05，表明模型不显著，二次曲线模型不合理。

三次曲线回归方程，拟合优度判定系数为0.987（高于一元线性回归方程拟合度）。回归方程和各回归系数显著性小于0.05，表明三次曲线模型更为合理。

【SPSS】回归分析详细操作教程（附案例实战）（下）：https://developer.aliyun.com/article/1434876