一、介绍
网络流问题是一类经典的组合优化问题，它在图论和网络分析中扮演着重要的角色。这类问题通常涉及在网络中沿着边进行资源分配的情况，如输送流体、电力传输、数据传输等。
网络流问题的模型基于一个有向图，其中节点表示资源的来源或目的地，边表示资源在节点之间的流动路径。每条边都有一个容量限制，表示该路径上能够通过的最大资源流量。
网络流问题通常有两个主要的变体：最大流问题和最小割问题。
1. 最大流问题（Maximum Flow Problem）：给定一个有向图的源节点和汇节点，每条边的容量限制，要求找到从源节点到汇节点的最大资源流量。这个问题可以用于解决许多实际应用，如数据传输网络的最大带宽问题和交通网络的最大通行能力问题。常用的解决算法有Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
2. 最小割问题（Minimum Cut Problem）：给定一个有向图的源节点和汇节点，每条边的容量限制，要求找到一个割集，将图划分为源节点和汇节点两个不相交的子集，并且使割集上的边的容量和最小。这个问题可以用于寻找网络通信的瓶颈或脆弱点。常用的解决算法有Ford-Fulkerson算法和邻近顶点算法。
网络流问题还有其他变体和扩展，如多源多汇最大流问题、最小费用最大流问题、可行流问题等。这些问题在日常生活和工程领域中有广泛的应用，如交通规划、电力系统优化、通信网络设计等。
解决网络流问题的算法主要有Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法、Dinic算法、Push-Relabel算法等。这些算法基于不同的思想和策略，通过增广路径或流量调整来逐步优化网络流。
二、寻找网络最大流的3个经典算法
1、Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法
其中，Ford-Fulkerson算法是具有反悔功能的算法，但复杂度较大，Edmonds-Karp算法是它的一个特例，通过寻找最短路径使得复杂度减小
Ford-Fulkerson算法是一个增广路径法，用于找到网络中的最大流。算法的基本思想是不断在剩余网络中寻找增广路径，通过增加路径上的流量来增加总流量，直到无法再找到增广路径。以下是Ford-Fulkerson算法的基本步骤：
1. 初始化网络中所有边的流量为0。
2. 在剩余网络中寻找一条从源节点到汇节点的增广路径。
3. 如果存在增广路径，则通过该路径增加流量。这相当于在该路径上找到最小的剩余容量，将其作为增加的流量。
4. 重复步骤2和3，直到无法再找到增广路径。
Ford-Fulkerson算法代码：
function maxFlow = fordFulkerson(graph, source, sink) % 初始化流量矩阵为0 flow = zeros(size(graph)); % 反向图的剩余容量矩阵 residualCap = graph; while true % 利用DFS找增广路径 [path, minCapacity] = dfs(source, sink, residualCap, flow, []); % 如果无法找到增广路径，则结束循环 if isempty(path) break; end % 更新路径上的流量和剩余容量 for i = 1 : length(path) - 1 u = path(i); v = path(i+1); flow(u, v) = flow(u, v) + minCapacity; flow(v, u) = flow(v, u) - minCapacity; residualCap(u, v) = residualCap(u, v) - minCapacity; residualCap(v, u) = residualCap(v, u) + minCapacity; end end % 最大流为源节点流出的总流量 maxFlow = sum(flow(source, :)); end function [path, minCapacity] = dfs(source, target, residualCap, flow, path) % 深度优先搜索查找增广路径 % % 输入参数： % source：源节点 % target：目标节点 % residualCap：剩余容量矩阵 % flow：流量矩阵 % path：当前路径 % % 输出参数： % path：增广路径 % minCapacity：增广路径上最小的剩余容量 % 将源节点添加到路径中 path = [path, source]; % 如果当前节点等于目标节点，则说明找到了增广路径，计算最小剩余容量 if source == target minCapacity = min(residualCap(path(1:end-1), path(2:end))); % 计算增广路径上最小的剩余容量 return; % 返回 end % 遍历邻接矩阵中的所有节点 for i = 1 : size(residualCap, 1) % 如果存在一条边从当前节点到下一个节点，且剩余容量大于零且流量小于剩余容量，并且下一个节点不在当前路径中 if residualCap(source, i) > 0 && flow(source, i) < residualCap(source, i) && ~ismember(i, path) % 递归调用dfs函数搜索下一个节点 [path, minCapacity] = dfs(i, target, residualCap, flow, path); % 如果找到增广路径，则直接返回 if ~isempty(path) return; end end end % 未找到增广路径，返回空路径和最小容量为0 path = []; minCapacity = 0; end
应用代码举例
% 邻接矩阵表示的图 graph = [0, 3, 0, 3, 0, 0, 0; 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0; 3, 0, 0, 1, 2, 0, 0; 0, 0, 0, 0, 2, 6, 0; 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1; 0, 0, 0, 0, 0, 0, 9; 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]; source = 1; % 源节点 sink = 7; % 汇节点 maxFlow = fordFulkerson(graph, source, sink); fprintf('最大流量为: %d\n', maxFlow);
Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson算法的一个特殊实现，其中使用BFS（广度优先搜索）来查找增广路径。与Ford-Fulkerson算法不同的是，Edmonds-Karp算法在每一次迭代中都利用BFS找到的最短路径，这样可以保证算法具有多项式时间复杂度。以下是Edmonds-Karp算法的基本步骤：
1. 初始化网络中所有边的流量为0。
2. 在剩余网络中使用BFS查找从源节点到汇节点的最短增广路径。
3. 如果存在最短增广路径，则通过该路径增加流量。这相当于在该路径上找到最小的剩余容量，将其作为增加的流量。
4. 重复步骤2和3，直到无法再找到最短增广路径。
这两种算法都能找到最大流，并且Edmonds-Karp算法相对于Ford-Fulkerson算法有更好的性能保证。它们主要应用于网络流问题，例如在网络通信、交通流量分析以及资源分配等方面的应用。
Edmonds-Karp算法代码 ：
function maxFlow = edmondsKarp(graph, source, sink) % 初始化流量矩阵为0 flow = zeros(size(graph)); % 反向图的剩余容量矩阵 residualCap = graph; while true % 利用BFS找最短路径（最小剩余容量路径） [path, minCapacity] = bfs(source, sink, residualCap, flow); % 如果无法找到最短路径，则结束循环 if isempty(path) break; end % 更新路径上的流量和剩余容量 for i = 1 : length(path) - 1 u = path(i); v = path(i+1); flow(u, v) = flow(u, v) + minCapacity; flow(v, u) = flow(v, u) - minCapacity; residualCap(u, v) = residualCap(u, v) - minCapacity; residualCap(v, u) = residualCap(v, u) + minCapacity; end end % 最大流为源节点流出的总流量 maxFlow = sum(flow(source, :)); end function [path, minCapacity] = bfs(source, target, residualCap, flow) % 广度优先搜索查找最小剩余容量路径 queue = source; visited = zeros(1, size(flow, 1)); visited(source) = 1; parent = zeros(1, size(flow, 1)); minCapacity = Inf; % 遍历队列，直到找到汇节点或遍历完成 while ~isempty(queue) u = queue(1); queue(1) = []; for v = find(residualCap(u, :) & ~visited) % 如果v没有被访问过且剩余容量不为0 capacity = min([residualCap(u, v), flow(u, v)]); if capacity > 0 visited(v) = 1; parent(v) = u; queue(end+1) = v; % 如果找到汇节点，则返回最小容量和路径 if v == target path = reconstructPath(source, target, parent); for i = 1 : length(path) - 1 u = path(i); v = path(i+1); minCapacity = min([minCapacity, residualCap(u, v)]); end return; end end end end % 未找到最短路径，返回空路径和最小容量0 path = []; minCapacity = 0; end function path = reconstructPath(source, target, parent) % 根据父节点列表重建最短路径 path = [target]; while path(1) ~= source path = [parent(path(1)), path]; end end
2、Dinic’s Algorithm算法
Dinic’s Algorithm是一种非常有效的用于寻找网络最大流的算法，它是最大流问题的经典算法之一。
Dinic’s Algorithm通过不断寻找起点到终点之间的多条增广路，逐步增加网络流来求解最大流。增广路（augmenting path）指的是从源节点到汇节点的一条路径，路径上的边的剩余容量都大于0。增广路上的最小剩余容量称为该增广路的流量增量，将该流量增量加入当前最大流的流量中。
Dinic’s Algorithm的算法流程如下：
- 将源节点到汇节点的距离分层，使用BFS或DFS求解，所有距离小于等于最短路径距离的节点分到同一层中，同时记录每个节点在分层过程中的距离。
- 在分层的基础上，以源节点为起点，不断搜索增广路（即可行流），每次在当前深度优先搜索的路径上尽可能增加流量。若不能再增加流量，则回退到前一节点，继续寻找下一条增广路。
- 当找不到增广路时，算法结束，此时最大流即为当前流量总和。
Dinic’s Algorithm的时间复杂度为O(V2E)，其中V表示节点数，E表示边数。
需要注意的是，Dinic’s Algorithm仅适用于无向图或有向图中有向边都是正向且反向边容量为0的情况。对于一般的有向图，可以通过对其转化为网络流模型、添加超级源汇节点等进行预处理，再使用Dinic’s Algorithm求解。
Dinic’s Algorithm是一种常用且高效的求解最大流问题的算法，它广泛应用于实际网络中。
以下是用MATLAB实现Dinic’s Algorithm寻找网络最大流的简化示例代码：
function [maxFlow, flowMatrix] = dinicsAlgorithm(capacityMatrix, source, sink) % 输入参数： % capacityMatrix: 表示网络中边的容量矩阵 % source: 源节点的索引 % sink: 汇节点的索引 % 返回值： % maxFlow: 最大流量 % flowMatrix: 表示网络中边的流量矩阵 n = size(capacityMatrix, 1); % 网络节点数 flowMatrix = zeros(n, n); % 流量矩阵 residualMatrix = capacityMatrix; % 剩余容量矩阵 % DFS函数：在层次图中寻找增广路径 function [augmentedPath, minCapacity] = dfs(residualMatrix, currentNode, minCapacity, path) if currentNode == sink augmentedPath = path; return; end for i = 1:n if residualMatrix(currentNode, i) > 0 && ~ismember(i, path) newMinCapacity = min(minCapacity, residualMatrix(currentNode, i)); [augmentedPath, minCapacity] = dfs(residualMatrix, i, newMinCapacity, [path, i]); if ~isempty(augmentedPath) return; end end end augmentedPath = []; minCapacity = 0; end maxFlow = 0; % 最大流量 % 构建层次图，并重复寻找增广路径直到找不到为止 while true % 使用BFS构建层次图 distance = zeros(n, 1); % 节点的距离 distance(source) = 1; queue = [source]; while ~isempty(queue) currentNode = queue(1); queue(1) = []; for i = 1:n if distance(i) == 0 && residualMatrix(currentNode, i) > 0 distance(i) = distance(currentNode) + 1; queue = [queue, i]; end end end % 在层次图中寻找增广路径 [augmentedPath, minCapacity] = dfs(residualMatrix, source, inf, [source]); if isempty(augmentedPath) break; end % 更新流量矩阵和剩余容量矩阵 for i = 2:length(augmentedPath) prevNode = augmentedPath(i-1); currentNode = augmentedPath(i); flowMatrix(prevNode, currentNode) = flowMatrix(prevNode, currentNode) + minCapacity; flowMatrix(currentNode, prevNode) = -flowMatrix(prevNode, currentNode); residualMatrix(prevNode, currentNode) = capacityMatrix(prevNode, currentNode) - flowMatrix(prevNode, currentNode); residualMatrix(currentNode, prevNode) = capacityMatrix(currentNode, prevNode) - flowMatrix(currentNode, prevNode); end maxFlow = maxFlow + minCapacity; end end
使用上述代码，你可以通过传入网络容量矩阵、源节点索引和汇节点索引调用dinicsAlgorithm函数来寻找网络的最大流。该函数的返回值为最大流量和流量矩阵。其中，网络容量矩阵表示每条边的容量，流量矩阵表示每条边的流量。
二、最小割问题
最大流问题其实等价于最小割问题
要使用最大流算法来计算最小割，可以按照以下步骤进行：
1. 使用一个适合你的最大流算法来计算从源节点到汇节点的最大流。常用的最大流算法有 Ford-Fulkerson 算法和 Edmonds-Karp 算法。
2. 在计算最大流的过程中，记录每个边的流量。这些流量值将帮助我们标记割。
3. 在计算最大流后，我们得到了一个流网络，其中一些边的流量没有达到最大值。我们可以根据这些没有达到最大值的边，将网络分为两个不相交的子集。一个子集包含所有从源节点可达的节点，另一个子集包含所有到达汇节点的节点。
4. 因此，我们可以通过遍历流网络中的边，并找到满足以下条件的边来构建最小割：
- 该边连接了源节点可达的节点和汇节点可达的节点。
- 该边的流量等于最大流的容量。
5. 最小割是指将流网络分为两个子集的边的集合，其中每条边的容量等于最大流。这些边构成了一个割。割将源节点和汇节点分为两个不相交的部分。
总结一下，利用最大流算法来计算最小割的过程就是根据最大流计算得到的流量值，找到满足一定条件的边，将网络分为两个不相交的子集。这些边构成了最小割。
以下是使用 MATLAB 的最大流算法来求解最小割的示例代码：
% 导入最大流算法的相关函数 addpath('path_to_folder/maximum_flow_algorithm'); % 构建图的邻接矩阵 % 这里通过示例图来说明算法的用法 % 图的邻接矩阵表示边的流量限制 % 这里假设图中有 4 个顶点，6 条边 numVertices = 4; numEdges = 6; adjMatrix = zeros(numVertices, numVertices); adjMatrix(1, 2) = 2; % 设置边的流量限制 adjMatrix(1, 3) = 3; adjMatrix(2, 3) = 1; adjMatrix(2, 4) = 1; adjMatrix(3, 4) = 3; % 调用最大流算法求解最小割 [flow, cut] = fordFulkerson(adjMatrix, 1, 4); % 输出结果 disp(['最大流:', num2str(flow)]); disp('最小割:'); for i = 1:length(cut) if cut(i) == 1 disp(i); end end
请注意，以上代码中的 path_to_folder 需要替换为存放最大流算法函数的文件夹的路径。此外，还需要在 MATLAB 中添加最大流算法的函数定义和实现。你可以在网上找到一些 MATLAB 的最大流算法实现，并将其添加到你的代码中。
