七、高精度除法(高精度除低精度)
核心模板
除法是从最高位开始算，可以正序存储，但是为了与加减乘统一，以及题目中存在四则运算时比较方便，也使用倒序存储每位信息。
//A/b=C...r,A>=0,b>0 vector<int> div(vector<int> &A,int b,int &r){ vector<int>C; r=0; for(int i=A.size()-1;i>=0;i--){ r=r*10+A[i]; C.push_back(r/b); r%=b; } reverse(C.begin(),C.end()); while(C.size()>1&&C.back()==0) C.pop_back(); return C; }
题目链接：794. 高精度除法
7.1题目描述
给定两个非负整数（不含前导 0） A，B，请你 计算 A/B 的商和余数。
输入格式
共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。
输出格式
共两行，第一行输出所求的商，第二行输出所求余数。
数据范围
1≤A的长度≤100000,1≤B≤10000
B 一定不为 0
输入样例：
7 2
输出样例：
3 1
7.2思路分析
模拟减法过程即可，注意细节，具体见代码注释。
7.3代码实现
#include <iostream> #include <string> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; vector<int> div(vector<int> &A,int b,int &r){ //r是引用 r=0; //记录余数 vector<int> C; //商 //从最高位开始依次按除法原则进行模拟 for(int i=A.size()-1;i>=0;i--){ r=r*10+A[i]; //上一次余数*10和当前位的和，作为本次的被除数 C.push_back(r/b); //当前位计算所得商 r%=b; //当前位计算所得余数 } //C中为正序存储，为统一，翻转C改为逆序存储 reverse(C.begin(),C.end()); //去除前导0 while(C.size()>1&&C.back()==0) C.pop_back(); return C; } int main() { string a; int b; vector<int> A; cin>>a>>b; //a,b正序读入 //逆序存储a每位数字 for(int i=a.size()-1;i>=0;i--){ A.push_back(a[i]-'0'); } int r; vector<int> C=div(A,b,r); for(int i=C.size()-1;i>=0;i--){ cout<<C[i]; } cout<<endl<<r; return 0; }
八、一维前缀和
前缀和下标从1开始， S[0]=0 ，为更好处理边界
核心模板
S[]前缀和数组 S[i]=a[1]+a[2]+...+a[i] a[l]+...+a[r]=S[r]-S[l-1]
题目链接：795. 前缀和
8.1题目描述
输入一个长度为 n 的整数序列。接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问，输出 原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n,1≤n,m≤100000,−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
5 3 2 1 3 6 4 1 2 1 3 2 4
输出样例：
3 6 10
8.2思路分析
套用公式（模板）即可，注意细节。
8.3代码实现
#include <iostream> using namespace std; const int N=100010; int n,m; int a[N],s[N]; int main() { cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>a[i]; } //套用公式（模板）即可 //前缀和的初始化 for(int i=1;i<=n;i++){ s[i]=s[i-1]+a[i]; } int l,r; while(m--){ cin>>l>>r; //区间和的计算 cout<<s[r]-s[l-1]<<endl; } return 0; }
九、二维前缀和
核心模板
S[]前缀和数组 S[i][j]=第i行第j列格子左上部分所有元素的和 以(x1,y1)为左上角，(x2,y2)为右下角的子矩阵的和为： S[x2][y2]-S[x1-1][y2]-S[x2][y1-1]+S[x1-1][y1-1]
题目链接：796. 子矩阵的和
9.1题目描述
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2 ，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问 输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2 ，表示一组询问。
输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000,1≤q≤200000,1≤x1≤x2≤n,1≤y1≤y2≤m,−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3 1 7 2 4 3 6 2 8 2 1 2 3 1 1 2 2 2 1 3 4 1 3 3 4
输出样例：
17 27 21
9.2思路分析
套用公式（模板）即可，注意细节。
计算红方框前缀和，左上角(x1,y1)，右下角(x2,y2)
此方阵代表a[][]数组
s[x2][y2]
s[x2][y2]-s[x1-1][y2]
s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]（黑色s[x1-1][y1-1]被减了两次）
s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]
计算绿色方框的前缀和s[i][j]
s[i-1][j]（浅蓝区域）
s[i-1][j]+s[i][j-1]（浅蓝区域）（深蓝色区域s[i-1][j-1]被加了两次）
s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]（a[i][j]为绿色方格）
9.3代码实现
#include <iostream> using namespace std; const int N=1010; int n,m,q; int a[N][N],s[N][N]; int main() { cin>>n>>m>>q; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=m;j++){ cin>>a[i][j]; } } //套用公式（模板）即可 for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=m;j++){ s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]; //求前缀和 } } int x1,y1,x2,y2; while(q--){ cin>>x1>>y1>>x2>>y2; cout<<s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]<<endl; //算子矩阵的和 } return 0; }
十、一维差分
核心模板
B[]差分数组 给区间[l,r]中的每个数加上c：B[l]+=c,B[r+l]-=c
题目链接：797. 差分
10.1题目描述
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示 将序列中 [l,r]之间的每个数加上 c。
请你 输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数序列。
接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤100000,1≤l≤r≤n,−1000≤c≤1000,−1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3 1 2 2 1 2 1 1 3 1 3 5 1 1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2
10.2思路分析
套用公式（模板）即可，注意细节。
10.3代码实现
#include <iostream> using namespace std; const int N=100010; int n,m; int a[N],b[N]; //b为差分数组 void insert(int l,int r,int c){ b[l]+=c; b[r+1]-=c; } int main() { cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>a[i]; } //套用公式（模板）即可 //假定a数组初识为0，而a中每个元素相当于在该元素位置加了该元素值 for(int i=1;i<=n;i++){ insert(i,i,a[i]); } int l,r,c; while(m--){ cin>>l>>r>>c; insert(l,r,c); } //差分数组求前缀和得到结果数组 for(int i=1;i<=n;i++){ b[i]+=b[i-1]; } for(int i=1;i<=n;i++){ cout<<b[i]<<" "; } return 0; }
十一、二维差分
核心模板
B[]差分数组
给以(x1,y1)为左上角，(x2,y2)为右下角的子矩阵中所有元素加上c: B[x1][y1]+=c,B[x2+1][y1]-=c,B[x1][y2+1]-=c,B[x2+1][y2+1]+=c
题目链接：798. 差分矩阵
11.1题目描述
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c ，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的 子矩阵中的每个元素的值加上 c。请你 将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 n,m,q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。
输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000,1≤q≤100000,1≤x1≤x2≤n,1≤y1≤y2≤m,−1000≤c≤1000,−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3 1 2 2 1 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 2 3 2 3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1 4 3 4 1 2 2 2 2
11.2思路分析
套用公式（模板）即可，注意细节。
计算红色区域对应的a[][]的每个数加上c
此方阵代表b[][]数组,红色区域左上角为(x1,y1)，右下角为(x2,y2)
b[x1][y1]+=c
b[x1][y1]+=c,b[x1][y2+1]-=c
b[x1][y1]+=c,b[x1][y2+1]-=c，b[x2+1][y1]-=c（黑色区域被减了两次）
b[x1][y1]+=c,b[x1][y2+1]-=c，b[x2+1][y1]-=c，b[x2+1][y2+1]+=c
11.3代码实现
#include <iostream> using namespace std; const int N=1010; int n,m,q; int a[N][N],b[N][N]; //b为差分数组 void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c){ b[x1][y1]+=c; b[x2+1][y1]-=c; b[x1][y2+1]-=c; b[x2+1][y2+1]+=c; } int main() { cin>>n>>m>>q; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=m;j++){ cin>>a[i][j]; } } //套用公式（模板）即可 //假定a数组初始为0，而a中每个元素相当于在该元素位置（大小为1的子矩阵）加了该元素值 for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=m;j++){ insert(i,j,i,j,a[i][j]); } } int x1,y1,x2,y2,c; while(q--){ cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c; insert(x1,y1,x2,y2,c); } //差分数组求前缀和得到结果数组 for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=m;j++){ b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1]; } } for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=m;j++){ cout<<b[i][j]<<" "; } cout<<endl; } return 0; }
十二、位运算
lowbit(x)原理：返回的是x&(~x+1)
核心模板
求n的第k位数字：n>>k&1 返回n的最后一位：lowbit(n)=n&-n //lowbit()无头文件，需自己实现函数。
题目链接：801. 二进制中1的个数
12.1题目描述
给定一个长度为 n 的数列，请你求出数列中每个数的二进制表示中 1 的个数 。
输入格式
第一行包含整数 n 。
第二行包含 n 个整数，表示整个数列。
输出格式
共一行，包含 n 个整数，其中的第 i 个数表示数列中的第 i 个数的二进制表示中 1 的个数。
数据范围
1≤n≤100000 , 0≤数列中元素的值≤109
输入样例：
5 1 2 3 4 5
输出样例：
1 1 2 1 2
12.2思路分析
使用lowbit()操作，每次将“最后一位1”减去，统计出数中1的个数。
12.3代码实现
#include <iostream> using namespace std; const int N=100010; int a[N]; int n; int lowbit(int x){ return x&-x; } int num(int x){ int sum=0; while(x){ sum++; //统计1的个数 x-=lowbit(x); //每次减去x的最后一位1 } return sum; } int main(){ cin>>n; for(int i=0;i<n;i++){ cin>>a[i]; } for(int i=0;i<n;i++){ cout<<num(a[i])<<' '; } return 0; }
