一、首先了解什么是算法的时间复杂度
1.算法的时间复杂度定义
官方话：在计算机科学中，时间复杂性，又称时间复杂度，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。
人话：就是计算一个算法的基本操作总次数。（也就是构造一个关于问题规模与基本操作次数之间的关系的函数）
1.将算法中基本操作的执行次数作为算法时间复杂度的度量 算法时间复杂度不是执行完一段程序的总时间，而是基本操作的总次数。
2.明确算法中的基本操作，计算出基本操作重复执行的次数。
3.找到一个n，可以称为问题的规模。
4.基本操作的次数是n的一个函数f(n)
2.必须知道的时间复杂度知识
T(n)的意思如下：
①T表示某段代码的总执行次数，也就是基本操作总数
②n就是数据运算的大小范围，也就是问题规模
一个重要的定理：
若
是一个m次多项式，则T(n) = O(n^m)。
定理说明了在计算算法的时间复杂度时，可以忽略所有低次幂项和最高次幂的系数，这样就可以简化算法分析，也体现出增长率的含义。
人话来说就是：
（1）T(2)、T(3)、T(k) k是常数；那么O(k)无论什么时候都为 1。
（2）若T(n) = 222n^3 + 2222n^2，那么就看最高次幂就行也就是T(n) = O(n^3)
也就是判断T(n)是否为常数
是：T(n) = 1
不是：T(n)的时间复杂度为：O(保留最高次幂的项，同时去除最高次幂的系数)
3.算法的时间复杂度的区分
二、时间复杂度的计算方式
1.计算时间复杂度思路
通过以上分析，总结出计算一个算法时间复杂度的具体步骤如下:
(1)确定算法中的基本操作以及问题的规模。
(2)根据基本操作执行情况计算出规模n的函数f(n)，并确定时间复杂度为T(n)=O(f(n)中增长最快的项/此项的系数)。
注意:有的算法中基本操作的执行次数不仅跟初始输入的数据规模有关，还和数据本身有关。例如，一些排序算法，同样有n个待处理数据，但数据初始有序性不同，则基本操作的执行次数也不同。一般依照使得基本操作执行次数最多的输入来计算时间复杂度，即将最坏的情况作为算法时间复杂度的度量。
2.如果大家觉得上面有点难理解，我给出一个简易版的做题思路
时间复杂度做题步骤：
（1）知基本操作是什么（最内层的循环语句作为基本操作）
选循环语句中那条语句作为基本操作，主要看与问题规模n
的关系
（2）看问题规模（如果有多层循环，看最外层循环）
（3）接下来分步写出操作一次、两次、三次知道m
次所带来的值的变化情况
（4）总结规律，列出m=多少n的表达式，其中的m就是f(n)，
也就是时间复杂度（5）写出f(n) = n，从而计算出O(n)
三、例题
1.例题1：时间复杂度为O(n)
解题思路：
（1）确定基本操作次数：i+=2；为什么选i+=2；而不选++j呢，因为i与问题规模有关，j与问题规模无关
（2）确定问题规模：n；
（3）计算前几个值，知晓它的规律：
① i = 1+2；j++ ② i = 1 + 2 + 2 ③ i = 1 + 2 + 2 + 2 …… （假设第m次就i就不满足小于n了）那么就有：第m次运算：i = 1 + 2m；
（4） 总结规律，列出m与n的关系，从而转化为f(n)与n的关系：(1 + 2m) - k = n（此k的作用是调整(1 + 2m)去逼近与n，这里可以采用下数学的极限思想！）
（5）得m与n的关系，也就是m = f(n) =
，那么T(n) = O(n)，时间复杂度就是O(n)
敲黑板！！！
如果有朋友看不懂上面的意思，那么我就再写个详细，如下：
第一步:找出基本操作，确定规模n。
(1)找基本操作。基本操作即以求时间复杂度为目的的前提下，重复执行次数和算法的执行时间成正比的操作。通俗地说，这种操作组成了算法，当它们都执行完的时候算法也结束了，多数情况下取最深层循环内的语句所描述的操作作为基本操作，显然题目中++j;与i+=2;这两行都可以作为基本操作。
(2)确定规模。由循环条件i<n可知，循环执行的次数(基本操作执行的次数)和参数n有关，因此参数n就是我们所说的规模no
第二步:计算出n的函数 f(n)。
显然，n确定以后，循环的结束与否和i有关。i的初值为1，每次自增2，假设i自增m次后循环
结束，则i最后的值为1+2m，因此有1+2m+K=n(其中K为一个常数，因为在循环结束时i的值稍大于 n，为了方便表述和进一步计算，用K将1+2m修正成n，因为K为常数，所以这样做不会影响最终时间复杂度的计算)，解得m=(n-1-K)/2，即f(n)=(n-1-K)/2，可以发现其中增长最快的项为n/2，因此时间复杂度T(n)=O(n)。
2.例题2：时间复杂度为O(n^2)
解题思路：
（1）确定基本操作数（看最内层循环的基本操作次数，也就是++x）
（2）确定问题规模：看最外层的for循环（为什么不看最里层的for循环呢，因为没必要哇！如果你连第一个循环都进不来，谈何第二层循环呢？还有就是看以最外层循环为基准去看问题，也还是一样要一层层进去数，所以就选择最外层循环为问题规模！）
（3）计算前几个值，知晓它的规律（外层循环的次数以①，②……表示）（内层循环的次数以1,2……表示），则：
① 1. i = 0 , j = 1 , ++x ; 2. i = 0 , j = 2 , ++x ; 3. i = 0 , j = 3 , ++x …………
第n - 1次：i = 0 , j = n - 1 , ++x（为什么没有n次呢，因为j < n，所以没有第n次）同理如下：
② 1. i = 1 , j = 2 , ++x ; 2. i = 1 , j = 3 , ++x ; 3. i = 1 , j = 4 , ++x …………
第n - 2次：i = 0 , j = n - 1 , ++x
（4）总结规律，列出m与n的关系，从而转化为f(n)与n的关系：
从规律中得知n、次数与i的关系的关系有：次数 = n - (i + 1)
i = 0 -> n - 1次
i = 1 -> n - 2次
i = 2 -> n - 3次
…………
i = n - 2 -> n - (i + 1) = 1
i = n - 1 -> n - (i + 1) = 0
由等差数列求和公式
得：
总执行基本操作次数为：
（5）所以T(n) = O(n^2)
3.例题3：时间复杂度为O(n的平方根)
解题思路：
（1）确定基本操作：s = s + i
（2）确定问题规模：n
（3）计算前几个值，知晓它的规律：
① i = 0 , s = 0 + 1 ; ② i = 1 , s = 0 + 1 + 2 ; ③ i = 2 , s = 0 + 1 + 2 + 3…………
假设到第m次，s就不满足小于n：s = 1 + 2 + 3 + …… + m
（4）总结规律，列出m与n的关系，从而转化为f(n)与n的关系：
由等差数列求和公式
得：
那么s就是无限趋近于n，就有了
（5）T(n) = O(
)
注意：其中的m怎么解呢，可以用求根公式求解
m^2 + m - 2k = 2n
x1,x2 =
结果就显而易见了！！！
重点！！！
说白了就是在找m次基础操作使得某个值x无限接近于问题规模n，从而利用 (m次操作次数后的x - k = n)
4.例题4：时间复杂度O(logn)
解题思路：
（1）确定基本操作：i = i * 2
（2）确定问题规模：n
（3）计算前几个值，知晓它的规律：
① i = 1 * 2 ; ② i = 1 * 2 * 2 …………同理可得 假如第m次就停止，那就是 i = 1 * 2^m
（4）总结规律，列出m与n的关系，从而转化为f(n)与n的关系：
1 * 2^m - k = n;
2^m = n - 1 + k;
m = f(n) =
;
（5）O(n) = logn;（注意：底数也要去掉，就留下n）
5.例题5：时间复杂度O(nlogn)
解题思路：
（1）确定基本操作：x = x * 2
（2）确定问题规模：最外层的n
直接给简便的理解，因为最外层是执行了n次，里面执行了n - 1次，由例题4知，时间复杂度
T(n) = O(nlogn)
