一、动态求连续区间和
1、1 题目描述
题目来源：《信息学奥赛一本通》,Acwing模板题
题目难度：简单
题目描述：给定 n 个数组成的一个数列，规定有两种操作，一是修改某个元素，二是求子数列 [a,b] 的连续和。
输入格式：
第一行包含两个整数 n 和 m，分别表示数的个数和操作次数。
第二行包含 n 个整数，表示完整数列。
接下来 m 行，每行包含三个整数 k,a,b （k=0，表示求子数列[a,b]的和；k=1，表示第 a 个数加 b）。
数列从 1 开始计数。
输出格式：
输出若干行数字，表示 k=0时，对应的子数列 [a,b] 的连续和。
数据范围：
1≤n≤100000,
1≤m≤100000，
1≤a≤b≤n,
数据保证在任何时候，数列中所有元素之和均在 int 范围内。
输入样例：
1. 10 5 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 1 1 5 4. 0 1 3 5. 0 4 8 6. 1 7 5 7. 0 4 8
输出样例：
1. 11 2. 30 3. 35
1、2 题解关键思路与解答
我们知道求一段区间的和用前缀和数组会很方便，时间复杂度也很快。但是当修改数组的数据时，我们又要重新求前缀和数组，这样下来时间复杂的就较高了，为O（n*n）的级别的。这个时候我们就可以用到树状数组来求解。树状数组是一个一维数组，每个位置存储的数据是一段区间的和。以下为书抓鬼呢数组的模板：
我们只需要记住树状数组有三个比较重要的函数，lowbit（找下一个要操作的数）、add（改变大小）、query（求区间和）。我们看代码：
#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 100010; int n, m; int a[N], tr[N]; int lowbit(int x) { return x & -x; } void add(int x, int v) { for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += v; } int query(int x) { int res = 0; for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i]; return res; } int main() { scanf("%d%d", &n, &m); for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]); for (int i = 1; i <= n; i ++ ) add(i, a[i]); while (m -- ) { int k, x, y; scanf("%d%d%d", &k, &x, &y); if (k == 0) printf("%d\n", query(y) - query(x - 1)); else add(x, y); } return 0; }
二、数星星
2、1 题目描述
题目来源：《信息学奥赛一本通》 , Ural 1028
题目难度：中等
题目描述：
天空中有一些星星，这些星星都在不同的位置，每个星星有个坐标。
如果一个星星的左下方（包含正左和正下）有 k 颗星星，就说这颗星星是 k 级的。
例如，上图中星星 5 是 3 级的（1,2,4 在它左下），星星 2,4 是 1 级的。
例图中有 1 个 0 级，2 个 1 级 1 个 2 级，1 个 3 级的星星。
给定星星的位置，输出各级星星的数目。
换句话说，给定 N 个点，定义每个点的等级是在该点左下方（含正左、正下）的点的数目，试统计每个等级有多少个点。
输入格式：
第一行一个整数 N，表示星星的数目；
接下来 N 行给出每颗星星的坐标，坐标用两个整数 x,y 表示；
不会有星星重叠。星星按 y 坐标增序给出，y 坐标相同的按 x 坐标增序给出。
输出格式：
N 行，每行一个整数，分别是 0 级，1 级，2 级，……，N−1 级的星星的数目。
数据范围：
1≤N≤15000，
0≤x,y≤32000。
输入样例：
1. 5 2. 1 1 3. 5 1 4. 7 1 5. 3 3 6. 5 5
输出样例：
1. 1 2. 2 3. 1 4. 1 5. 0
2、2 题解关键思路与解答
我们仔细分析上述题目，题目中说道：不会有星星重叠。星星按 y 坐标增序给出，y 坐标相同的按 x 坐标增序给出。也就是输入的星星的做标顺序是按照从下往上，从左往右依次给出的。我们只需要判断该星星的左下方位置有多少个星星来确定等级就行。由于是按照坐标顺序给出的，所以这就给我们的统计带来了很大的方便。我们只需要看该坐标的横坐标，有多少个比该做的横坐标小的数就是星星的个数。在统计时还不断插入新坐标，相当于就是动态求数组的前缀和，我们在这里就可以利用树状数组即可解决问题。我们看代码：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N=32010; int n; int c[N],level[N]; int lowbit(int x) { return x&-x; } int sum(int x) { int res=0; for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) res+=c[i]; return res; } void add(int x) { for(int i=x;i<N;i+=lowbit(i)) c[i]++; } int main() { cin>>n; for(int i=0;i<n;i++) { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); x++; level[sum(x)]++; add(x); } for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",level[i]); }
三、数列区间最大值
3、1 题目描述
题目来源：《信息学奥赛一本通》
题目难度：中等
题目描述：输入一串数字，给你 M 个询问，每次询问就给你两个数字 X,Y，要求你说出 X 到 Y 这段区间内的最大数。
输入格式：
第一行两个整数 N,M 表示数字的个数和要询问的次数；
接下来一行为 N 个数；
接下来 M 行，每行都有两个整数 X,Y。
输出格式：
输出共 M 行，每行输出一个数。
数据范围：
1≤N≤1e5,
1≤M≤1e6,
1≤X≤Y≤N,
数列中的数字均不超过2^31−1
输入样例：
1. 10 2 2. 3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 3. 1 4 4. 3 8
输出样例：
1. 5 2. 8
3、2 题解关键思路与解答
我们正常可以想到的就是暴力循环，时间复杂度为O（n*n）的级别。题目中歌的数据范围较大，所以暴力是通过不了的。我们这个时候就可以使用线段树。线段树可以动态求一段区间的和、一段区间的最大值、最小值等问题。这个题中我们就是要求一段区间的最大值。什么是线段树呢？线段树是一棵平衡二叉树。母结点代表整个区间的和，越往下区间越小。注意，线段树的每个节点都对应一条线段（区间），但并不保证所有的线段（区间）都是线段树的节点，这两者应当区分开。
我们在使用线段树时，通常会先建立一个结构体，该结构体包含左右区间，以及要求的值。每个节点 u 的左右子节点的编号分别为 2u 和 2u+1 ，假如节点 u 储存区间 [l,r] 的和，设 mid=⌊(l+r/)2⌋ ，那么两个子节点分别储存 [l, mid] 和 [mid+1,r] 的和。可以发现，左节点对应的区间长度，与右节点相同或者比之恰好多1。
线段树有四个重要的函数：pushup（通过子节点向上求父节点的和）、build（通过递归建立线段树）、query（求一段区间的最大值或最小值或 和）、modify（修该某个值）。
我们来结合本题的代码一起理解一下：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<climits> using namespace std; const int N=1e5+10; int w[N]; struct Node { int l,r; int maxv; }tr[4*N]; void build(int u,int l,int r) { if(l==r) tr[u]={l,r,w[r]}; else { tr[u]={l,r}; int mid=l+r>>1; build(u<<1,l,mid),build(u<<1 | 1,mid+1,r); tr[u].maxv=max(tr[u<<1].maxv,tr[u<<1 | 1].maxv); } } int query(int u,int l,int r) { if(tr[u].l>=l && tr[u].r<=r) return tr[u].maxv; int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1; int maxv=INT_MIN; if(l<=mid) maxv=query(u<<1,l,r); if(r>mid) maxv=max(maxv,query(u<<1|1,l,r)); return maxv; } int main() { int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]); build(1,1,n); int l,r; while(m--) { scanf("%d%d",&l,&r); printf("%d\n",query(1,l,r)); } return 0; }
