【数学建模】国赛真题分析 2014A题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略（一）

2014A题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

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嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

附件1： 问题的背景与参考资料；
附件2： 嫦娥三号着陆过程的六个阶段及其状态要求；
附件3：距月面2400m处的数字高程图；
附件4：距月面100m处的数字高程图。

基本概念解释

惯性系和非惯性系

惯性系和非惯性系是物理学中用来描述物体运动状态的两个基本概念。

1. 惯性系（Inertial Frame of Reference）：惯性系是指一个参考系，在该参考系中，物体若受到力的作用，则会产生加速度。在惯性系中，牛顿定律成立，即物体没有受到外力时保持静止或匀速直线运动。
   
2. 非惯性系（Non-Inertial Frame of Reference）：非惯性系是指一个以变速运动的参考系。在非惯性系中，由于观察者所处的系统自身有加速度，所以物体可能出现表面上没有力的情况下产生加速度的现象。这是因为在非惯性系中，存在一个惯性力，这个力与观察者的加速度成正比，且方向相反。
   

在非惯性系中，为了使牛顿定律仍然成立，我们需要引入惯性力来解释观察到的现象。常见的非惯性系包括旋转参考系、加速度参考系等。

例如，当我们在车辆上突然刹车或加速时，乘坐车辆的人会感到向前或向后摆动。这个摆动的原因是人体本身具有惯性，当车辆加速或减速时，人体受到一个向后或向前的惯性力，产生摆动的现象。

总结起来，惯性系是指一个参考系，在其中牛顿定律成立，物体若受到力的作用则会产生加速度；非惯性系是指一个变速运动的参考系，物体可能在表面上没有力的情况下产生加速度，此时需要引入惯性力来解释观察到的现象。

椭圆

椭圆是一个经典的几何学概念，它是平面上一组点构成的集合，这组点到两个给定的焦点的距离之和是一个常数。椭圆可以看作是一个拉伸的圆形，具有一些独特的性质。

以下是一些关于椭圆的基本特征：

1. 焦点：椭圆有两个焦点，分别记作 F1 和 F2。每个点都是焦点-直线距离之和等于常数的定义点。
   
2. 长轴和短轴：通过两个焦点绘制的直线称为长轴，它的长度为2a；与长轴垂直并通过椭圆中心的直线称为短轴，它的长度为2b。a 和 b 之间的关系是 a > b。
   
3. 半长轴和半短轴：长轴长度的一半称为半长轴（a），短轴长度的一半称为半短轴（b）。
   
4. 离心率：离心率（e）定义为焦点与椭圆中心之间的距离与半长轴的比值。它是椭圆的形状特征之一，范围介于0和1之间。当离心率为0时，椭圆退化为一个圆；当离心率接近1时，椭圆趋近于变成一个细长的形状（称为扁平椭圆）。
   
5. 焦距：焦距是两个焦点之间的距离，等于2ae，其中e是离心率。
   
6. 焦半径：焦半径是从椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和。
   
7. 方程式：椭圆的标准方程是(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b是半长轴和半短轴的长度。
   

椭圆在数学、物理、工程以及其他许多领域中都有广泛的应用。它们具有对称性和良好的几何特性，因此在设计曲线、天体力学、光学系统等方面起着重要作用。同时，椭圆还是椭圆积分、焦散等概念的基础。

牛顿定律

牛顿定律，也称为牛顿运动定律，是经典力学的基础之一，由英国物理学家艾萨克·牛顿在17世纪提出。它描述了物体运动状态与作用在物体上的力之间的关系。

牛顿定律包括三个定律：

1. 牛顿第一定律（惯性定律）：如果一个物体受到合力为零的作用，它将保持静止或以恒定速度直线运动（即匀速直线运动）。这意味着物体在没有外力作用时具有惯性，不会改变其状态。
   
2. 牛顿第二定律（运动定律）：当作用于一个物体上的合力不为零时，物体将产生加速度，其大小与合力成正比，与物体的质量成反比。用数学公式表示为 F = ma，其中 F 是合力，m 是物体的质量，a 是物体的加速度。
   
3. 牛顿第三定律（作用-反作用定律）：任何两个物体之间的相互作用力都是相等且方向相反的。换句话说，如果物体 A 对物体 B 施加一个力，那么物体 B 对物体 A 也会施加一个力，且这两个力大小相等、方向相反。
   

牛顿定律是经典力学的基础，描述了物体运动以及力的性质和行为。它被广泛应用于工程、天体力学、运动学、静力学等领域，并为后续科学理论的发展奠定了基础。但需要注意的是，牛顿定律对宏观物体运动的描述，在微观粒子、相对论和量子力学等领域可能不适用，需要采用更加精确的理论模型。

开普勒定律

开普勒定律是描述行星运动的定律，由德国天文学家约翰内斯·开普勒在17世纪提出。这些定律揭示了行星绕太阳旋转的规律，为日心说提供了重要的支持。

开普勒定律包括以下三个定律：

1. 第一定律（椭圆轨道定律）：行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
   
2. 第二定律（面积速度定律）：在相等时间内，行星与太阳连线所扫过的面积是相等的。这意味着当行星离太阳较近时，它的速度会增加；当行星离太阳较远时，它的速度会减小。
   
3. 第三定律（调和定律）：行星绕太阳的轨道周期的平方与它的平均距离的立方成正比。用数学公式表示为 T^2 = k * R^3，其中 T 是轨道周期，R 是平均距离，k 是一个常数。
   

这些定律揭示了行星运动的规律，帮助我们理解了行星在太阳系中的运动方式。开普勒的发现为后来牛顿引力定律的建立提供了重要依据，对天体力学和宇航科学的发展起到了重要作用。

需要注意的是，开普勒定律适用于太阳系中的行星运动，对于其他恒星系统或者宇宙其他部分的天体运动可能存在差异。同时，开普勒定律是经验性的，牛顿引力定律提供了更为深入的解释和基础。

曲率半径

曲率半径是描述曲线曲率大小的物理量，通常用符号 R 表示。它是指某一点上曲线的切线与曲线在该点附近的凸侧（或凹侧）相切的圆的半径。

对于平面曲线而言，曲率半径可以通过以下公式计算：

R = (1 + (dy/dx)²⁾(3/2) / |d^2y/dx2|

其中，dy/dx 是曲线在该点处的斜率，d^2y/dx2 是曲线的二阶导数。|d^2y/dx2| 表示取二阶导数的绝对值。

曲率半径越小，表示曲线的曲率越大，弯曲程度更强。当曲率半径为无穷大时，即为一条直线。

曲率半径在物理学和工程学中有广泛应用。例如，在光学中，曲率半径被用来描述透镜的形状和光线的折射；在道路设计中，曲率半径用来评估道路的转弯半径和行驶安全性等。

天体运动常用公式

天体运动常用的公式包括牛顿引力定律和开普勒定律。下面是这两个定律的常用公式：

1. 牛顿引力定律：
   F = G * (m1 * m2) / r^2
   其中，F 是两个天体之间的引力大小，G 是万有引力常数，m1 和 m2 是两个天体的质量，r 是它们之间的距离。
   
2. 开普勒第三定律：
   T^2 = (4π^2 / G * (m1 + m2)) * a^3
   其中，T 是行星绕恒星一周所需的时间（轨道周期），G 是万有引力常数，m1 和 m2 分别是恒星和行星的质量，a 是行星轨道的半长轴。
   

当涉及到天体运动时，还有一些其他常用的公式和方程，包括但不限于以下几个：

1. 圆周运动的速度：
   v = 2πr / T
   其中，v 是物体在圆周轨道上的线速度，r 是轨道半径，T 是轨道周期。
   
2. 圆周运动的加速度：
   a = v^2 / r = 4π^2r / T^2
   其中，a 是物体在圆周轨道上的向心加速度。
   
3. 开普勒第二定律的面积速度定律（针对椭圆轨道）：
   dA / dt = 0.5 * r^2 * dθ / dt
   其中，dA / dt 是行星与太阳连线所扫过的面积的变化率，r 是行星到太阳的距离，dθ / dt 是行星在轨道上的角速度。
   
4. 行星轨道的离心率计算：
   e = (r_max - r_min) / (r_max + r_min)
   其中，r_max 和 r_min 分别是椭圆轨道的最大半径和最小半径。
   

数学模型的误差分析和灵敏度分析

数学模型的误差分析和灵敏度分析是对模型进行评估和改进的重要工具。它们帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及对输入参数的响应程度。

误差分析（Error Analysis）关注的是模型的输出与实际观测值或真实情况之间的差异。它帮助我们评估模型的精确性和准确性，并确定模型中存在的误差来源。常见的误差类型包括：随机误差、系统误差、模型结构误差等。通过误差分析，我们可以定量评估模型的预测能力，并识别需要改进的方面。常用的误差度量指标包括平均绝对误差（MAE）、均方误差（MSE）和均方根误差（RMSE）等。

灵敏度分析（Sensitivity Analysis）旨在研究模型输出对输入参数变动的响应程度。它帮助我们了解模型对不同参数值的敏感程度，从而评估模型的稳定性和可靠性。灵敏度分析可以采用不同的方法，包括一次性变动一个参数、一次性变动多个参数、逐步变动参数等。常见的灵敏度分析方法包括参数敏感度分析、全局灵敏度分析、局部灵敏度分析等。通过灵敏度分析，我们可以确定哪些参数对模型的输出影响最大，有助于优化模型设计和参数选择。

误差分析和灵敏度分析是数学模型评估与改进的重要手段，它们帮助我们了解模型的准确性、稳定性和可靠性，并指导模型的改进和优化。同时，它们也有助于提高数学模型的可解释性和应用范围，从而更好地支持决策和问题求解。

imread

https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/imread.html

根据您提供的信息，imread 是一个常用的函数，用于从图像文件中读取图像数据。它是图像处理库中的一个函数，可以用于加载图像文件到内存中以供后续处理和分析。

在Python中，可以使用OpenCV库中的imread函数来读取图像文件。以下是一个示例代码：

import cv2
# 读取图像文件
image = cv2.imread('image.jpg')
# 显示图像
cv2.imshow('Image', image)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

在上述代码中，image.jpg 是待读取的图像文件的路径。imread 函数将图像文件加载到image 变量中，然后可以对图像进行进一步的处理和分析。imshow 函数用于显示图像，waitKey(0) 等待用户按下键盘上的任意键，destroyAllWindows 用于关闭图像显示窗口。

需要注意的是，imread 函数的参数可以是图像文件的路径，也可以是一个URL地址。此外，imread 函数还可以选择不同的参数来解析和处理图像，例如指定图像的通道数、颜色空间等。具体的参数设置可以根据需要进行调整。

关于比冲

比冲或比冲量是对一个推进系统的燃烧效率的描述。比冲的定义为：火箭发动机单位质量推进剂产生的冲量，或单位流量的推进剂产生的推力。比冲的单位为米/秒（m/s），并满足下列关系式：

，其中是发动机的推力，单位是牛顿；是以米/秒为单位的比冲；是单位时间燃料消耗的公斤数。

关于月球参数

月球平均半径、赤道平均半径和极区半径分别为1737.013km、1737.646km和1735.843km，月球的形状扁率为1/963.7256，月球质量是7.3477×1022kg。月球与地球距离最远（远地点）：406610km，最近（近地点）：356330km，平均距离为384400km。

NASA月球勘测轨道飞行器使用的月面海拔零点，是月球的平均半径所在的高度。所以，嫦娥三号着陆点的海拔为-2640m，即该点到月球中心的距离要比月球的平均半径少2640m。

题目分析

根据所提供的信息，我们可以根据以下步骤进行数学建模和解决问题：

(1) 确定着陆准备轨道的位置和速度：

• 近月点的位置：根据要求，近月点距离月球中心的距离为15km。由于未提供月球的半径信息，我们无法确定近月点相对于月球表面的位置。
• 远月点的位置：根据要求，远月点距离月球中心的距离为100km。同样地，由于未提供月球的半径信息，我们无法确定远月点相对于月球表面的位置。
  在给定位置的情况下，可以通过计算来确定嫦娥三号相应的速度大小和方向。

(2) 确定嫦娥三号的着陆轨道和最优控制策略：

• 着陆轨道：根据要求，着陆轨道是从近月点至着陆点的轨道段。根据附件2所提供的信息，软着陆过程共分为6个阶段。我们可以通过数学模型求解着陆轨道，使得满足每个阶段在关键点的状态要求。
• 最优控制策略：为了减少软着陆过程中的燃料消耗，我们可以采用最优控制策略。这需要考虑到多个因素，包括燃料消耗、推进剂的质量变化、推力方向的调整等。最优控制策略可以通过数学优化方法来求解，以实现在给定约束条件下最小化燃料消耗的目标。
  (3) 误差分析和敏感性分析：
  对于设计的着陆轨道和控制策略，我们可以进行误差分析和敏感性分析。这可以包括考虑不同的初始条件和参数误差，以评估系统的稳定性和可靠性。我们可以通过数值模拟和系统仿真来进行误差分析和敏感性分析，以评估设计的轨道和控制策略对于不确定性的鲁棒性和适应性。

对于问题的详细分析，我们将按照步骤（1）、（2）和（3）依次进行。

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

由于未提供月球的半径信息，我们无法确定近月点和远月点相对于月球表面的位置。但是我们可以假设月球的半径为R，那么近月点的位置就是R+15km，远月点的位置就是R+100km。

要确定嫦娥三号相应速度的大小与方向，我们可以使用开普勒定律和牛顿运动定律来计算。

根据开普勒定律，我们可以计算嫦娥三号在近月点和远月点的速度大小。速度大小由以下公式给出：

v = sqrt(GM / r)

其中，G是引力常数，M是月球的质量，r是嫦娥三号与月球中心的距离。

根据牛顿运动定律，我们可以计算嫦娥三号在近月点和远月点的速度方向。速度方向与加速度方向相同，加速度由以下公式给出：

a = F / m

其中，F是嫦娥三号所受的合力，m是嫦娥三号的质量。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

为了确定嫦娥三号的着陆轨道和最优控制策略，我们可以采用数学建模和优化方法。以下是一个可能的方法：

• 首先，建立嫦娥三号的运动方程和约束条件。这可以通过牛顿运动定律和航天器运动学原理来建立。
• 其次，将问题转化为一个最优控制问题。我们可以采用动态规划或者最优控制理论中的方法，将问题转化为一个优化过程，以最小化燃料消耗为目标。
• 接下来，可以采用数值优化方法，如线性规划、非线性规划或动态规划等方法，来求解最优控制问题。这将涉及到计算的迭代过程，以逐步优化控制策略。
• 最后，通过仿真和实验验证，评估设计的着陆轨道和控制策略的性能和可行性。
  （3）对于设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
  误差分析和敏感性分析可以用于评估着陆轨道和控制策略的鲁棒性和可靠性。以下是一些可能的分析方法：
• 误差分析：可以考虑不同的初始条件和参数误差，以评估系统的稳定性和预测性能。
• 敏感性分析：可以通过改变关键参数的值，来评估系统对参数变化的敏感程度，以确定系统的鲁棒性和适应性。

这些分析可以通过数值模拟和系统仿真来进行，以评估设计的轨道和控制策略在不确定性条件下的表现。

需要指出的是，由于缺乏具体的数学模型和数据，我们无法给出问题的详细解答。上述的分析方法只是一个指导，具体的数学模型和计算方法需要根据更详细的要求和数据进行进一步的研究和分析。因此，为了解决问题，我们建议您进行进一步的研究，并根据具体情况来设计数学模型和计算方法。

摘要

根据给定的排版要求，下面是重新排版过的内容：

摘要：

本题以嫦娥三号登月为背景，分析了登月轨道参数，并重点讨论了着陆轨道设计优化。同时对所使用的优化方案进行了误差分析与灵敏度分析。

第一问中，由于正面求解条件有限，难以直接得到近月点和远月点的位置以及准备轨道参数。因此，利用逆推思路，通过已知条件求解主减速阶段运动过程，并通过水平位移量反推近月点位置。通过物理知识和工程经验，建立了微分方程模型，并将其离散化为差分方程组。通过计算机模拟行为，拟合出最接近解的轨迹，得到近月点位置为19.51°W，31.50°N，距月面15km，速度为1692.46m/s，方向指向预期落点；远月点位置为160.49°E，31.50°S，距月面100km，速度为1612.15m/s，方向与近日点反向平行。

第二问中，按照题意将其分为五个阶段。前两个阶段利用二体模型和力学方程组进行分析，并对约束条件进行归一化处理。为了进行优化，列出全部归一化约束条件，并建立了非线性规划模型。然后使用序列化遗传算法对其进行筛选，逼近全局最优解，得到此阶段的燃耗为1055.39kg。第二阶段也是复杂的多变量优化问题，采用遗传算法求解该阶段的全局最优解，最终燃耗为26.71kg。第三和第四阶段主要涉及图像处理和统计分析。通过对高程图进行K均值聚类分析，得到安全点和危险点的像素分布情况，进而对地图进行栅格化，并对方格内点类型进行统计。通过扩大寻找最大安全半径，并综合考虑水平偏移量，建立合理的落点评价体系，找出最优点坐标（1275,1000），燃耗为86.97kg。第四阶段类似地进行聚类分析，根据嫦娥三号实际体积选取合适的栅格大小，并使用最小二乘法对空间进行线性统计回归，求得平均坡面和平均坡度。结合最大安全半径建立最优落点评价体系，最终获得最优落点坐标为（88,56），燃耗为20.68kg。第五阶段的最优燃耗为8.09kg。最后，对简化运动模型进行了讨论，简化了后几个阶段的运动学分析和计算。综合各段最优解，得到最优着陆轨道与控制策略。

对于第三问，总结了优化模型中引入的一些误差因素，并对主要因素进行了数值上的相对误差分析，证明误差对优化方案影响较小。同时分析了初始变量和约束条件的波动对结果的影响，发现角度控制向量的灵敏性较高，而其他因素的灵敏性较低，说明优化方案不敏感于初值，并且可以逼近全局最优解。

**关键词：**非线性规划模型、序列化遗传算法、K均值聚类、空间线性回归、二体模型

一．问题的提出

1.1 背景介绍

根据计划，嫦娥三号将在北京时间12月14号在月球表面实施软着陆。嫦娥三号如何实现软着陆以及能否成功成为外界关注焦点。目前，全球仅有美国、前苏联成功实施了13次无人月球表面软着陆。

北京时间12月10日晚，嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道，这是嫦娥三号“落月”前最后一次轨道调整。在实施软着陆之前，嫦娥三号还将在椭圆轨道上继续飞行，做最后准备。

嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。但由于月球地形的不确定性，最终“落月”地点的选择仍存在一定难度。在整个“落月”过程中，“动力下降”被业内形容为最惊心动魄的环节。在这个阶段，嫦娥三号要完全依靠自主导航控制，完成降低高度、确定着陆点、实施软着陆等一系列关键动作，人工干预的可能性几乎为零。在距月面100米处时，嫦娥三号要进行短暂的悬停，扫描月面地形，避开障碍物，寻找着陆点。

1.2 问题重述

嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生的推力可调节，变化范围为1500N到7500N，其比冲为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态，尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，建立数学模型解决下面的问题：

（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二．问题的分析

2.1 问题一

题目已经给出准备轨道的形状参数，根据已有的物理知识和几何关系，可以计算近月点和远月点处的速度大小和月面相对速度的方向。然而，由于无法确定近月点和远月点的位置，需要其他条件来推测。在现有条件下，可以通过逆推近月点，并结合地月轨道制动的实际情况来综合考虑。根据相关报道和NASA在1976年提出的线性正切制导率，主减速阶段通常采用恒定推力作用在轨道切线上进行制导。因此，我们可以建立二体模型，利用已知条件和微分方程组进行计算机模拟，以求得降落弧线距离，从而反推近月点，并对称地得出远月点。

2.2 问题二

根据问题一得到的近月点和每个阶段的状态，可以大致确定降落轨道的范围，但精确路径需要通过策略优化来控制。在每个阶段中，燃料消耗与推力在时间上的积累量成正比，即减小推力的冲量可以优化燃料消耗。

针对第一个阶段，由于推力较大且历时较长，燃料消耗主要发生在这个阶段。因此，优化策略应该重点考虑这个阶段。由于有二体模型，可以建立微分方程模型，并根据初值条件和阶段限定条件构建非线性约束条件。将问题转化为轨道优化的非线性规划问题，一般可通过成熟的 SQP 算法可以得到全局最优解，但本题采用了更为常见也相对传统的遗传算法，逼近全局最优解，得出最优方案。

对于第二阶段，目标是使水平速度为零，并且推力迅速减小。根据上一阶段的优化结果，可以得到末速度的水平分量。由于冲量是可分解的，因此可以将这个阶段分解为水平和竖直方向上的两个变速直线运动模型。这简化了优化模型，并可以通过求解这两个局部最优解来得到整个阶段的全局最优解。

第三阶段的水平速度初始为零。通过对月面进行成像分析，并制定平坦度评价体系，可以选择距离中心点最近且满足平坦度要求的区域中心作为粗调整的目标降落点。由于在这个阶段结束时水平速度减为零，可以对推力进行优化，以获得局部燃料最优解。

第四阶段是悬停阶段，进行精细成像和分析。同样，制定平坦度评价体系并选择距离中心点最近且满足平坦度要求的区域中心作为最终目标降落点，修正轨道。在结束时水平速度仍为零，因此同样需要进行优化过程。

第五和第六阶段是减速至零然后自由下落的过程。可以考虑对减速阶段进行优化，可以通过简单讨论得出结果。最终根据每个阶段的最优方案，可以模拟出嫦娥三号的着陆轨道。

2.3 问题三

为了分析设计轨道和控制策略的误差和敏感性，有必要制定误差指标，并考虑各部分误差对结果的最大影响。敏感性分析也需要采用类似的思路，衡量各个阶段微小变化对结果产生的影响。另外，也许还需要寻找参考物以评估该方案的优劣。

三．模型假设

1. 由于月球自转速度为27.3d，十分缓慢，而着陆过程仅有十几分钟，因此在本题中月球不考虑自转；
2. 由于月球扁率很小，可认为月球为球体，半径以平均半径为准，并且引力场分布均匀；
3. 由于侧面姿态调整喷射装置对燃料影响很小，为简化模型，认为飞行器变换姿态的过程不消耗燃料；
4. 认为飞行器变换姿态是瞬间完成的；
5. 由于着陆时间较短，所以诸如月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素均可忽略不计；
6. 推力大小可瞬间改变；
7. 燃料除供给推力外，无任何其他耗散方式；
8. 月球空气稀薄，不考虑任何摩擦力；
9. 由于预定着陆点海拔为-2641m，因此在着陆过程中所使用的高度均不应是海拔高度，而是相对于着陆点海拔的高度。

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