123. 买卖股票的最佳时机 III
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入：prices = [1]
输出：0
1.状态表示
对于线性 dp ，我们可以⽤「经验+题⽬要求」来定义状态表⽰：
- 以某个位置为结尾，巴拉巴拉；
- 以某个位置为起点，巴拉巴拉。
这⾥我们选择⽐较常⽤的⽅式，以某个位置为结尾，结合题⽬要求，定义⼀个状态表⽰：
由于有「买⼊」「可交易」两个状态，因此我们可以选择⽤两个数组。但是这道题⾥⾯还有交易次数的限制，因此我们还需要再加上⼀维，⽤来表⽰交易次数。其中
- f[i][j] 表⽰：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「买⼊」状态，此时的最⼤利 润；
- g[i][j] 表⽰：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「卖出」状态，此时的最⼤利 润。
- 2.状态转移方程
对于 f[i][j] ，我们有两种情况到这个状态：
- i. 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「买⼊」状态，第 i 天啥也不⼲即可。此时最⼤利润为： f[i -1][j] ；
- ii. 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天的时候把股票买了。此 时的最⼤利润为： g[i- 1][j] - prices[i] 。
综上，我们要的是「最⼤利润」，因此是两者的最⼤值：
f[i][j] = max(f[i - 1][j],g[i - 1][j] - prices[i])
对于 g[i][j] ，我们也有两种情况可以到达这个状态：
- i. 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天啥也不⼲即可。此时的 最⼤利润为： g[i -1][j] ；
- ii. 在 i - 1 天的时候，交易了 j - 1 次，处于「买⼊」状态，第 i 天把股票卖了，然 后就完成了 j⽐交易。此时的最⼤利润为： f[i - 1][j - 1] + prices[i]
- 但是这个状态不⼀定存在，要先判断
综上，我们要的是最⼤利润，因此状态转移⽅程为：
g[i][j] = g[i - 1][j]; if(j >= 1) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i])
3. 初始化
由于需要⽤到 i = 0 时的状态，因此我们初始化第⼀⾏即可。
◦ 当处于第 0 天的时候，只能处于「买⼊过⼀次」的状态，此时的收益为 -prices[0] ，因此 f[0][0] = - prices[0] 。
为了取 max 的时候，⼀些不存在的状态「起不到⼲扰」的作⽤，我们统统将它们初始化为 -INF （⽤ INT_MIN 在计算过程中会有「溢出」的⻛险，这⾥ INF 折半取0x3f3f3f3f ，⾜够⼩即可）
4. 填表顺序
从「上往下填」每⼀⾏，每⼀⾏「从左往右」，两个表「⼀起填」
5. 返回值
返回处于「卖出状态」的最⼤值，但是我们也「不知道是交易了⼏次」，因此返回 g 表最后⼀⾏的最⼤值。
代码：
const int INF = -0x3f3f3f3f; int maxProfit(vector<int>& prices) { int n=prices.size(); int k=3; vector<vector<int>> f(n,vector<int>(k,INF)); vector<vector<int>> g(n,vector<int>(k,INF)); for(int i=0;i<k;i++) { f[0][i]=-prices[0]; } g[0][0]=0; for(int i=1;i<n;i++) { for(int j=0;j<k;j++) { f[i][j]=max(f[i-1][j],g[i-1][j]-prices[i]); if(j==0) { g[i][j]=g[i-1][j]; } else g[i][j]=max(g[i-1][j],f[i-1][j-1]+prices[i]); } } int ret=INT_MIN; for(int i=0;i<k;i++) { ret=max(ret,g[n-1][i]); } return ret; }
188. 买卖股票的最佳时机 IV
给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
示例 2：
输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
1.状态表示
对于线性 dp ，我们可以⽤「经验+题⽬要求」来定义状态表⽰：
- 以某个位置为结尾，巴拉巴拉；
- 以某个位置为起点，巴拉巴拉。
这⾥我们选择⽐较常⽤的⽅式，以某个位置为结尾，结合题⽬要求，定义⼀个状态表⽰：
由于有「买⼊」「可交易」两个状态，因此我们可以选择⽤两个数组。但是这道题⾥⾯还有交易次数的限制，因此我们还需要再加上⼀维，⽤来表⽰交易次数。其中
- f[i][j] 表⽰：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「买⼊」状态，此时的最⼤利 润；
- g[i][j] 表⽰：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「卖出」状态，此时的最⼤利 润。
- 2.状态转移方程
对于 f[i][j] ，我们有两种情况到这个状态：
- i. 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「买⼊」状态，第 i 天啥也不⼲即可。此时最⼤利润为： f[i -1][j] ；
- ii. 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天的时候把股票买了。此 时的最⼤利润为： g[i- 1][j] - prices[i] 。
综上，我们要的是「最⼤利润」，因此是两者的最⼤值：
f[i][j] = max(f[i - 1][j],g[i - 1][j] - prices[i])
对于 g[i][j] ，我们也有两种情况可以到达这个状态：
- i. 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天啥也不⼲即可。此时的 最⼤利润为： g[i -1][j] ；
- ii. 在 i - 1 天的时候，交易了 j - 1 次，处于「买⼊」状态，第 i 天把股票卖了，然 后就完成了 j⽐交易。此时的最⼤利润为： f[i - 1][j - 1] + prices[i]
但是这个状态不⼀定存在，要先判断
综上，我们要的是最⼤利润，因此状态转移⽅程为：
g[i][j] = g[i - 1][j]; if(j >= 1) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i])
3. 初始化
由于需要⽤到 i = 0 时的状态，因此我们初始化第⼀⾏即可。
◦ 当处于第 0 天的时候，只能处于「买⼊过⼀次」的状态，此时的收益为 -prices[0] ，因此 f[0][0] = - prices[0] 。
为了取 max 的时候，⼀些不存在的状态「起不到⼲扰」的作⽤，我们统统将它们初始化为 -INF （⽤ INT_MIN 在计算过程中会有「溢出」的⻛险，这⾥ INF 折半取0x3f3f3f3f ，⾜够⼩即可）
4. 填表顺序
从「上往下填」每⼀⾏，每⼀⾏「从左往右」，两个表「⼀起填」
5. 返回值
返回处于「卖出状态」的最⼤值，但是我们也「不知道是交易了⼏次」，因此返回 g 表最后⼀⾏的最⼤值。
代码：
const int INF = -0x3f3f3f3f; int maxProfit(int k, vector<int>& prices) { int n=prices.size(); vector<vector<int>> f(n,vector<int>(k+1,INF)); vector<vector<int>> g(n,vector<int>(k+1,INF)); for(int i=0;i<k;i++) { f[0][i]=-prices[0]; } g[0][0]=0; for(int i=1;i<n;i++) { for(int j=0;j<=k;j++) { f[i][j]=max(f[i-1][j],g[i-1][j]-prices[i]); if(j==0) { g[i][j]=g[i-1][j]; } else g[i][j]=max(g[i-1][j],f[i-1][j-1]+prices[i]); } } int ret=INT_MIN; for(int i=0;i<=k;i++) { ret=max(ret,g[n-1][i]); } return ret; }
