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一、优先级队列
1.1概念
前面介绍过队列，队列是一种先进先出(FIFO)的数据结构，但有些情况下，操作的数据可能带有优先级，一般出队列时，可能需要优先级高的元素先出队列，该中场景下，使用队列显然不合适，比如：在手机上玩游戏的时候，如果有来电，那么系统应该优先处理打进来的电话；初中那会班主任排座位时可能会让成绩好的同学先挑座位。
在这种情况下，数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)。
二、优先级队列的模拟实现
JDK1.8中的PriorityQueue底层使用了堆这种数据结构，而堆实际就是在完全二叉树的基础上进行了一些调整。
2.1堆的概念
如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中，并满足：Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，则称为 小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的性质：
- 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
- 堆总是一棵完全二叉树。
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2.2堆的存储方式
从堆的概念可知，堆是一棵完全二叉树，因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储，
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注意：对于非完全二叉树，则不适合使用顺序方式进行存储（会造成空间的浪费），因为为了能够还原二叉树，空间中必须要存储空节点，就会导致空间利用率比较低。
将元素存储到数组中后，可以根据二叉树章节的性质5对树进行还原。假设i为节点在数组中的下标，则有：
如果i为0，则i表示的节点为根节点，否则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2
如果2 * i + 1 小于节点个数，则节点i的左孩子下标为2 * i + 1，否则没有左孩子
如果2 * i + 2 小于节点个数，则节点i的右孩子下标为2 * i + 2，否则没有右孩子
2.3堆的创建
2.3.1堆向下调整
对于集合{ 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 }中的数据，如果将其创建成堆呢？
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仔细观察上图后发现：根节点的左右子树已经完全满足堆的性质，因此只需将根节点向下调整好即可。
向下过程(以小堆为例)：
1. 让parent标记需要调整的节点，child标记parent的左孩子(注意：parent如果有孩子一定先是有左孩子)
2. 如果parent的左孩子存在，即:child < size， 进行以下操作，直到parent的左孩子不存在
parent右孩子是否存在，存在找到左右孩子中最小的孩子，让child进行标:将parent与较小的孩子child比较，如果：parent小于较小的孩子child，调整结束
否则：交换parent与较小的孩子child，交换完成之后，parent中大的元素向下移动，可能导致子
树不满足堆的性质，因此需要继续向下调整，即parent = child；child = parent*2+1; 然后继续2。
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public void shiftDown(int[] array, int parent) { // child先标记parent的左孩子，因为parent可能右左没有右 int child = 2 * parent + 1; int size = array.length; while (child < size) { // 如果右孩子存在，找到左右孩子中较小的孩子,用child进行标记 if(child+1 < size && array[child+1] < array[child]){child += 1; } // 如果双亲比其最小的孩子还小，说明该结构已经满足堆的特性了 if (array[parent] <= array[child]) { break; }else{ // 将双亲与较小的孩子交换 int t = array[parent]; array[parent] = array[child]; array[child] = t; // parent中大的元素往下移动，可能会造成子树不满足堆的性质，因此需要继续向下调整 parent = child; child = parent * 2 + 1; } } }
注意：在调整以parent为根的二叉树时，必须要满足parent的左子树和右子树已经是堆了才可以向下调整。
时间复杂度分析：
最坏的情况即图示的情况，从根一路比较到叶子，比较的次数为完全二叉树的高度，即时间复杂度为O（
）
2.3.2堆的创建
那对于普通的序列{ 1,5,3,8,7,6 }，即根节点的左右子树不满足堆的特性，又该如何调整呢？
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参考代码：
public static void createHeap(int[] array) { // 找倒数第一个非叶子节点，从该节点位置开始往前一直到根节点，遇到一个节点，应用向下调整 int root = ((array.length-2)>>1); for (; root >= 0; root--) { shiftDown(array, root); } }
2.3.3建堆的时间复杂度
因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：
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建堆的时间复杂度为：O（N）
2.4堆的插入与删除
2.4.1堆的插入
堆的插入总共需要两个步骤：
1. 先将元素放入到底层空间中(注意：空间不够时需要扩容)
2. 将最后新插入的节点向上调整，直到满足堆的性质
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public void shiftUp(int child) { // 找到child的双亲 int parent = (child - 1) / 2; while (child > 0) { // 如果双亲比孩子大，parent满足堆的性质，调整结束 if (array[parent] > array[child]) { break; } else{ // 将双亲与孩子节点进行交换 int t = array[parent]; array[parent] = array[child]; array[child] = t; // 小的元素向下移动，可能到值子树不满足对的性质，因此需要继续向上调增 child = parent; parent = (child - 1) / 1; } } }
2.4.2堆的删除
注意：堆的删除一定删除的是堆顶元素。具体如下：
1. 将堆顶元素对堆中最后一个元素交换
2. 将堆中有效数据个数减少一个
3. 对堆顶元素进行向下调整
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2.5用堆模拟实现优先级队列
public class MyPriorityQueue { // 演示作用，不再考虑扩容部分的代码 private int[] array = new int[100]; private int size = 0; public void offer(int e) { array[size++] = e; shiftUp(size - 1); } public int poll() { int oldValue = array[0]; array[0] = array[--size]; shiftDown(0); return oldValue; } public int peek() { return array[0]; } }
常见习题：
1.下列关键字序列为堆的是:()
A: 100,60,70,50,32,65 B: 60,70,65,50,32,100 C: 65,100,70,32,50,60
D: 70,65,100,32,50,60 E: 32,50,100,70,65,60 F: 50,100,70,65,60,32
2.已知小根堆为8,15,10,21,34,16,12，删除关键字8之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次数是()
A: 1 B: 2 C: 3 D: 4
4.最小堆[0,3,2,5,7,4,6,8],在删除堆顶元素0之后，其结果是()
A: [3，2，5，7，4，6，8] B: [2，3，5，7，4，6，8]
C: [2，3，4，5，7，8，6] D: [2，3，4，5，6，7，8]
[参考答案]
1.A 2.C 4.C
三、常用接口介绍
3.1PriorityQueue的特性
Java集合框架中提供了PriorityQueue和PriorityBlockingQueue两种类型的优先级队列，PriorityQueue是线程不安全的，PriorityBlockingQueue是线程安全的，本文主要介绍PriorityQueue。
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关于PriorityQueue的使用要注意：
1. 使用时必须导入PriorityQueue所在的包，即：
import java.util.PriorityQueue;
2. PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出
ClassCastException异常
3. 不能插入null对象，否则会抛出NullPointerException
4. 没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容
5. 插入和删除元素的时间复杂度为
6. PriorityQueue底层使用了堆数据结构
7. PriorityQueue默认情况下是小堆---即每次获取到的元素都是最小的元素
3.2PriorityQueue常用接口介绍
3.2.1优先级队列的构造
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static void TestPriorityQueue(){ // 创建一个空的优先级队列，底层默认容量是11 PriorityQueue<Integer> q1 = new PriorityQueue<>(); // 创建一个空的优先级队列，底层的容量为initialCapacity PriorityQueue<Integer> q2 = new PriorityQueue<>(100); ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>(); list.add(4); list.add(3); list.add(2); list.add(1); // 用ArrayList对象来构造一个优先级队列的对象 // q3中已经包含了三个元素 PriorityQueue<Integer> q3 = new PriorityQueue<>(list); System.out.println(q3.size()); System.out.println(q3.peek()); }
注意：默认情况下，PriorityQueue队列是小堆，如果需要大堆需要用户提供比较器
class IntCmp implements Comparator<Integer>{ @Override public int compare(Integer o1, Integer o2) { return o2-o1; } } public class TestPriorityQueue { public static void main(String[] args) { PriorityQueue<Integer> p = new PriorityQueue<>(new IntCmp()); p.offer(4); p.offer(3); p.offer(2); p.offer(1); p.offer(5); System.out.println(p.peek()); } }
此时创建出来的就是一个大堆。
3.2.2插入/删除/获取优先级最高的元素
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static void TestPriorityQueue2(){ int[] arr = {4,1,9,2,8,0,7,3,6,5}; // 一般在创建优先级队列对象时，如果知道元素个数，建议就直接将底层容量给好 // 否则在插入时需要不多的扩容 // 扩容机制：开辟更大的空间，拷贝元素，这样效率会比较低 PriorityQueue<Integer> q = new PriorityQueue<>(arr.length); for (int e: arr) { q.offer(e); } System.out.println(q.size()); // 打印优先级队列中有效元素个数 System.out.println(q.peek()); // 获取优先级最高的元素 // 从优先级队列中删除两个元素之和，再次获取优先级最高的元素 q.poll(); q.poll(); System.out.println(q.size()); // 打印优先级队列中有效元素个数 System.out.println(q.peek()); // 获取优先级最高的元素 q.offer(0); System.out.println(q.peek()); // 获取优先级最高的元素 // 将优先级队列中的有效元素删除掉，检测其是否为空 q.clear(); if(q.isEmpty()){ System.out.println("优先级队列已经为空!!!"); } else{ System.out.println("优先级队列不为空"); } }
注意：以下是JDK 1.8中，PriorityQueue的扩容方式：
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优先级队列的扩容说明：
如果容量小于64时，是按照oldCapacity的2倍方式扩容的
如果容量大于等于64，是按照oldCapacity的1.5倍方式扩容的
如果容量超过MAX_ARRAY_SIZE，按照MAX_ARRAY_SIZE来进行扩容
3.3oj练习
top-k问题：最大或者最小的前k个数据。比如：世界前500强公司
public class Solution { public int[] smallestK(int[] arr, int k) { // 参数检测 if(null == arr || k <= 0) return new int[0]; PriorityQueue<Integer> q = new PriorityQueue<>(arr.length); // 将数组中的元素依次放到堆中 for(int i = 0; i < arr.length; ++i){ q.offer(arr[i]); } // 将优先级队列的前k个元素放到数组中 int[] ret = new int[k]; for(int i = 0; i < k; ++i){ ret[i] = q.poll(); } return ret; } }
该解法只是PriorityQueue的简单使用，并不是topK最好的做法，那topk该如何实现？下面介绍：
四、堆的应用
4.1PriorityQueue的实现
用堆作为底层结构封装优先级队列
4.2堆排序
堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：
1. 建堆
升序：建大堆
降序：建小堆
2. 利用堆删除思想来进行排序
建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。
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常见习题：
1.一组记录排序码为(5 11 7 2 3 17),则利用堆排序方法建立的初始堆为()
A: (11 5 7 2 3 17) B: (11 5 7 2 17 3) C: (17 11 7 2 3 5)
D: (17 11 7 5 3 2) E: (17 7 11 3 5 2) F: (17 7 11 3 2 5)
答案：C
4.3代码实现
package Heap; import java.util.Arrays; /** * @Author 12629 * @Description： */ public class TestHeap { //底层通过数组实现 public int[] elem; public int usedSize; public TestHeap() { //默认堆容量为10 this.elem = new int[10]; } //创建一个大根堆 时间复杂度O(N) public void createHeap(int[] array) { for (int i = 0; i < array.length; i++) { elem[i] = array[i]; usedSize++; } //把原始数据 给到了 elem数组 for (int parent = (usedSize-1-1)/2; parent >= 0 ; parent--) { shiftDown(parent,usedSize); } } /** * * @param parent 每棵子树的根节点 * @param len 代表每棵子树的结束位置 */ //向下调整 private void shiftDown(int parent,int len) { int child = 2 * parent+1; //是不是一定有左孩子 while (child < len) { //一定 不会越界 ！！！！ if(child + 1 < len && elem[child] < elem[child+1]) { child = child + 1; } if(elem[child] > elem[parent]) { int tmp = elem[child]; elem[child] = elem[parent]; elem[parent] = tmp; parent = child; child = 2 * parent+1; }else { //此时本身 就是一个大根堆 break; } } } public void push(int val) { //1. 检查满 if(isFull()) { elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length); } //2、存数据 elem[usedSize] = val; usedSize++; shiftUp(usedSize-1); } public boolean isFull() { return usedSize == elem.length; } //向上调整 public void shiftUp(int child) { int parent = (child-1)/2; while (child > 0) { if(elem[child] > elem[parent]) { int tmp = elem[child]; elem[child] = elem[parent]; elem[parent] = tmp; child = parent; parent = (child-1)/2; }else { break; } } } public void poll() { if(empty()) { throw new HeapEmptyException("优先级队列是空的！"); } int tmp = elem[0]; elem[0] = elem[usedSize-1]; elem[usedSize-1] = tmp; usedSize--;//9 shiftDown(0,usedSize); } public boolean empty() { return usedSize == 0; } public int peek() { if(empty()) { throw new HeapEmptyException("优先级队列是空的！"); } return elem[0]; } /** * 1. 建立大根堆：O(n) * 2. N*logN */ //堆排序 public void heapSort() { int end = usedSize-1; while (end > 0) { int tmp = elem[0]; elem[0] = elem[end]; elem[end] = tmp; shiftDown(0,end); end--; } } } //----------------------------------------------------- public class HeapEmptyException extends RuntimeException{ public HeapEmptyException() { } public HeapEmptyException(String message) { super(message); } } //----------------------------------------------------- public class Test { public static void main(String[] args) { TestHeap testHeap = new TestHeap(); int[] array = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 }; testHeap.createHeap(array); //testHeap.push(80); //testHeap.poll(); testHeap.heapSort(); System.out.println("fsfsaas"); } }
4.4Top-k问题
TOP-K问题：即求数据集合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，
基本思路如下：
1. 用数据集合中前K个元素来建堆
前k个最大的元素，则建小堆
前k个最小的元素，则建大堆
2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
/** * 找到前K个最小的数据！ * * 这个代码 不是真正的 topK的解决方式 * @param array * @param k * @return */ public static int[] smallestK1(int[] array,int k) { PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>(); for(int x : array) { minHeap.offer(x); } //小根堆当中 已经把数组所有的元素 存储起来了 k*logn int[] ret = new int[k]; for (int i = 0; i < k; i++) { ret[i] = minHeap.poll(); } return ret; } public static int[] smallestK(int[] array,int k) { PriorityQueue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>(k,new Imp()); for (int i = 0; i < k; i++) { maxHeap.offer(array[i]); } for (int i = k; i < array.length; i++) { //1、获取堆顶元素的值 int top = maxHeap.peek(); if(top > array[i]) { maxHeap.poll(); maxHeap.offer(array[i]); } } int[] ret = new int[k]; for (int i = 0; i < k; i++) { ret[i] = maxHeap.poll(); } return ret; }
