图论（graph theory）是数学的一个分支，以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
图论起源于一个非常经典的问题——柯尼斯堡（K-nigsberg）问题。1738年，瑞典数学家欧拉(Leonhard Euler)解决了柯尼斯堡问题，由此图论诞生，欧拉也成为图论的创始人。
1859年，英国数学家汉密尔顿发明了一种游戏: 用一个规则的实心十二面体的20个顶点标出世界著名的20个城市，要求游戏者找一条沿着各边通过每个顶点刚好一次的闭回路，即“绕行世界”。用图论的语言来说，游戏的目的是在十二面体的图中找出一个生成圈。这个生成圈后来被称为汉密尔顿回路。这个问题后来就叫作汉密尔顿问题。运筹学、计算机科学和编码理论中的很多问题都可以化为汉密尔顿问题，从而引起人们广泛的注意和研究。
# 01、实例分析：趣味象棋
问题描述:
比利和马克在玩一个游戏: 对一个N * M的棋盘，在格子里放尽量多的一些国际象棋里面的“车”，并且使得它们不能互相攻击，这当然很简单，但是马克限制了只有某些格子才可以放，比利还是很轻松地解决了这个问题，如图1所示。
■ 图1 趣味象棋
注意，不能放车的地方不影响车的互相攻击。
所以，现在马克想让比利解决一个更难的问题，在保证尽量多的“车”的前提下，棋盘里有些格子是可以避开的，也就是说，不在这些格子上放车，也可以保证尽量多的“车”被放下。但是，某些格子若不允许放，就无法保证放尽量多的“车”，这样的格子被称作重要点。马克想让比利算出有多少个这样的重要点，你能解决这个问题吗？
输入:
输入包含多组数据。
第一行有三个数N、M、K(1< N, M ≤10001<K≤N * M)，表示棋盘的高、宽，以及可以放“车”的格子数目。
接下来的K行描述了所有格子的信息: 每行两个数X和Y，表示这个格子在棋盘中的位置。
输出:
对输入的每组数据，按照如下格式输出:
Board T have C important blanks for L chessmen.
输入样例:
3 3 4
1 2
1 3
2 1
2 2
3 3 4
1 2
1 3
2 1
3 2
输出样例:
Board 1 have 0 important blanks for 2 chessmen.
Board 2 have 3 important blanks for 3 chessmen.
思路: 先考虑在棋盘上尽可能地放棋子，使得任意棋子不在同一行同一列，将棋盘的行看作左边的点集，将棋盘的列看作右边的点集，若某个格子（i,j）可行，就从左i连到右j，这个二分图的最大匹配即这个棋盘能放的最多棋子数。
现要找出二分图中有多少条关键边，很明显，关键边要在算出来的匹配中找，因此只需将棋盘点对应的边删除再求一次最大匹配，看匹配数是否减小，若减小了，则说明这个边即棋盘的点是关键的，输出即可。
参考程序:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
# include< string>
#include<cstring>
#include< cmath>
#include< ctime>
#include<algorithm>
#include< stack>
#include< queue>
# include<vector>
#include< set>
#include<map>
#define PI acos(-1.0)
#define E le-6
#define MOD 16007
#define INF Ox3f3f3f3f
#define N 10001
#define II long long
using namespace std;
int n,m,k;
bool visINl;
int linkINl;
bool GIN]IN;
bool dfs(int x) {
for(int y=1;y<=m;y++)[
if(G[x][y]&&!vis[y]){
vis[y]=true;
if(link[y]==-1 dfs(link[y])) [link[y]=x;
return true;
return false;
int hungarian()
i贸唇巴狈角经髓讫担鲍岸迸扳邦般埃半碟骨便哎斑肮拜拌柴爱挨艾绷焙编扮傲叭巴扒捌箔谍0;
for(int i=1;i<=n;i++)[
memset(vis,false,sizeof(vis)) ;if(dfs(i) )ans++;
return ans;
int main()f
int Case=1;
while(scanf("ddd",&n,&m,&k) !=EOF&&(n+m+ k)){
memset(G,false,sizeof(G) ) ;memset(link,-1,sizeof(link)) ;
while(k--){
int x,y;
scanf("d号d",&x,&y) ;G[x][y]=true;
int tot=hungarian() ;
int key=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++)[if(G[i][i])(G[il[j]=false;
memset(link,-1,sizeof(link));
int ans=hungarian() ;
if(ans<tot)
key+ + ;
G[il[jl=true;
printf("Board %d have d important blanks for d chessmen.\n",Case++key,tot);
return 0;
