递归的应用

而递归程序设计是C++语言程序设计中的一种重要的方法，它使许多复杂的问题变得简单，容易解决了。

递归特点是：函数或过程调用它自己本身。

其中直接调用自己称为直接递归，而将A调用B，B以调用A的递归叫做间接递归。

【例1】 给定n（n>=1）,用递归的方法计算1+2+3+4+...+(n-1)+n。

【算法分析】  本题可以用递归方法求解，其原因在于它符合递归的三个条件：  

(1)本题是累加问题：当前和=前一次和+当前项，而前一次和的计算方法与其相同，只是数据不同s(n)=s(n-1)+n;

(2)给定n,所以是有限次的递归调用；  

(3)结束条件是当n=1，则s=1。

1. #include<bits/stdc++.h>
2. using namespace std;
3. int sum(int n){
4.  if(n==1) return 1;
5.  else return sum(n-1)+n;
6. }
7. int main()
8. {
9.  int n;
10.   cin>>n;
11.   cout<<sum(n);
12.   return 0;
13.  }

递归调用过程，实质上是不断调用过程或函数的过程，由于递归调用一次，所有子程序的变量（局部变量、变参等）、地址在计算机内部都有用特殊的管理方法——栈（先进后出）来管理，一旦递归调用结束，计算机便开始根据栈中存储的地址返回各子程序变量的值，并进行相应操作。

【例2】 设有N个数已经按从大到小的顺序排列，现在输入X，判断它是否在这N个数中，如果存在则输出：“YES” 否则输出“NO”。

【算法分析】该问题属于数据的查找问题，数据查找有多种方法，通常方法是：顺序查找和二分查找，当N个数排好序时，用二分查找方法速度大大加快。

二分查找算法：

（1） 设有N个数，存放在A数组中，待查找数为X，用L指向数据的高端，用R指向数据的低端，MID指向中间：

（2） 若X=A[MID] 输出 “YES”；

（3）若X<A[MID]则到数据后半段查找：R不变，L=MID+1，计算新的MID值，并进行新的一段查找；

（4） 若X>A[MID]则到数据前半段查找：L不变，R=MID-1，计算新的MID值，并进行新的一段查找；

（5）若L>R都没有查找到，则输出“NO”。

该算法符合递归程序设计的基本规律，可以用递归方法设计。

1. #include<bits/stdc++.h>
2. using namespace std;
3. int a[100];
4. void find(int X,int L,int R){
5.  int mid;
6.  if(L<=R){
7.    mid=(L+R)/2;
8.    if(a[mid]==X) cout<<"YES";
9.    else {
10.       if(a[mid]>X) find(X,L,mid-1);
11.       else find(X,mid+1,R);
12.     }
13.   } 
14.   else cout<<"NO";  
15. }
16. int main()
17. {
18.   int n,x,i;
19.   cin>>n>>x;
20.   for(i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
21.   find(x,1,n);
22.   return 0;
23.  }

【例3】Hanoi汉诺塔问题  

有N个圆盘，依半径大小（半径都不同），自下而上套在A柱上，每次只允许移动最上面一个盘子到另外的柱子上去（除A柱外，还有B柱和C柱，开始时这两个柱子上无盘子），但绝不允许发生柱子上出现大盘子在上，小盘子在下的情况，现要求设计将A柱子上N个盘子搬移到C柱去的方法。

【算法分析】    

本题是典型的递归程序设计题。  

(1)当N=1 时，只有一个盘子，只需要移动一次:A—>C;  

(2)当N=2时，则需要移动三次：A---- 1 ----> B, A ---- 2 ----> C, B ---- 1----> C.    

(3)如果N=3，则具体移动步骤为：

假设把第3步，第4步，第7步抽出来就相当于N=2的情况（把上面2片捆在一起，视为一片）：

所以可按“N=2”的移动步骤设计：

①如果N=0，则退出，即结束程序;否则继续往下执行;  

②用C柱作为协助过渡，将A柱上的（N-1）片移到B柱上，调用过程mov(n-1, a,b,c);  

③将A柱上剩下的一片直接移到C柱上;  

④用A柱作为协助过渡，将B柱上的（N-1）移到C柱上，调用过程mov (n-1,b,c,a)。

1. #include<bits/stdc++.h>
2. using namespace std;
3. int m=0;
4. void Hanoi(int n,char a,char c,char b){  
5.  if(n==0) return;
6.  Hanoi(n-1,a,b,c);
7.  m++;
8.  cout<<m<<": "<<a<<"->"<<c<<endl;
9.  Hanoi(n-1,b,c,a); 
10. }
11. int main()
12. {
13.   int n;
14.   cin>>n;
15.   Hanoi(n,'a','c','b');
16.   return 0;
17.  }