作为最常见的方法之一，线性回归仍可视为有监督机器学习的方法之一，同时也是一种广泛应用统计学和数据分析的基本技术。它是一种用于估计两个或多个变量之间线性关系的方法，其中一个变量是自变量，另一个变量是因变量。线性回归假设这两个变量之间存在线性关系，并试图找到一条最佳拟合直线，使预测值与实际值之间的误差最小化。
1 线性回归模型
1.1 模型本体
线性回归模型假设因变量 y yy 与自变量 x 1 , x 2 , . . . , x p 之间存在线性关系，即
其中，β 0 \beta_0β 0 是截距，β 1 , β 2 , . . . , β p \beta_1, \beta_2, ..., \beta_pβ 1 ,β,...,β p 是自变量的系数，ϵ \epsilonϵ 是误差项。线性回归模型的目标是估计系数 β 0 , β 1 , β 2 , . . . , β p \beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_pβ 0 ,β 1 ,β 2,...,β p ，使得模型对因变量 y yy 的预测误差最小。
1.2 最小二乘法求解
最小二乘法是一种用于估计线性回归模型参数的常用方法，它的原理是寻找最小化残差平方和的系数估计值。残差是预测值与实际值之间的差异，残差平方和是所有残差平方的和。
最小化残差平方和的解可以用公式表示为
其中，β ^ \hat{\beta} 是系数估计值，X XX 是自变量矩阵，y yy 是因变量向量。如果 X T X X^TXX TX 可逆，则上述公式存在唯一解。
1.3 最小二乘求解推导
假设我们有一个大小为 m×n 的数据集，其中每个样本由 n 个特征和一个输出值组成。我们用 X 来表示数据集中的所有特征，用 Y 来表示数据集中的所有输出值。我们的目标是找到一个大小为 n×1 的权重向量 θ，使得 X*θ 和 Y 之间的误差最小化。
为了最小化误差，我们定义一个代价函数 J(θ)，如下所示：
我们的目标是找到一个最小化代价函数的 θ 值。为了找到最小化代价函数的 θ 值，我们需要对代价函数求导数，令导数为 0，求得 θ。
我们首先对代价函数 J(θ) 进行展开：
我们对 θ 求导数，得到：(矩阵求导规则如有遗忘，请查看后面的表格)
令导数为 0，解得：
在第二部分的代码中，将直接使用我们推导的结果进行计算。
附：矩阵求导规则
2 最小二乘法求解代码
代码部分使用回归案例的经典数据集：波士顿房价数据集。其中x 1 x_{1}x 1
代表房屋面积，x 2 x_{2}x 2
代表房间数量，Y代表房价。
2.1 原始数据
X_ = np.array([ [10, 1], [15, 1], [20, 1], [30, 1], [50, 2], [60, 1], [60, 2], [70, 2]]).reshape((-1, 2)) Y = np.array([0.8, 1.0, 1.8, 2.0, 3.2, 3.0, 3.1, 3.5]).reshape((-1, 1))
此处reshape进行了兜底操作，实际上数据结构已经符合要求，对于此示例数据结构不加不会报错，但可以避免日后输入不规范带来的Bug。
2.2 判断是否有截距项并进行操作
flag = True if flag: # 添加一个截距项对应的X值 X = np.column_stack((X_, np.ones(shape=(X_.shape[0], 1)))) else: # 不加入截距项 X = X_
添加截距项的方法，本质上是给X在最右侧添加了一个新的特征，但该特征恒为1。对应该特征的自变量系数即为截距。
2.3 求解θ \thetaθ
X = np.mat(X) Y = np.mat(Y) theta = (X.T * X).I * X.T * Y print(theta)
此处使用np.mat，可以将ndarray转为矩阵。转换之后矩阵的计算敲代码会更加容易，可以直接使用矩阵乘法和求逆矩阵等操作。如果不转换也可以，须将计算theta的部分改为：
theta = np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), Y)
层层嵌套，看起来就有些复杂了。
2.4 模型的使用
if flag: x = np.mat(np.array([[55.0, 2.0,1.0]])) else: x = np.mat(np.array([[55.0, 2.0]])) pred_y = x * theta
print(f"当面积为55平并且房间数目为2的时候，预测价格为:{float(pred_y):.2f}")
此处直接使用计算后的theta进行预测，并设置输出保留两位小数。
2.5 绘制结果
绘制的结果应该包含两部分，实际数据的散点图和方程所表示的平面。首先绘制散点图。
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D x1 = X[:, 0] x2 = X[:, 1] fig = plt.figure() ax = Axes3D(fig) ax.scatter(x1, x2, Y, s=40, c='r')
之后绘制方程所表示的平面，这里稍微麻烦一点。
x = np.arange(0, 100) y = np.arange(0, 4) x, y = np.meshgrid(x, y)
首先指定了x和y的范围，然后使用meshgrid计算由x和y范围内的点形成的网格的坐标。meshgrid前xydeshape分别为（100，）（4，），meshgrid后xy的顺序均为（4，100）。In other words，我们得到了这400个点对应的xy坐标。随后
如果希望使用矩阵与数值直接相乘，（4，100）无法和（1，1）相乘，需要把theat转换成浮点数，即
def predict(x1, x2, theta, base=False): if base: y_ = x1 * float(theta[0]) + x2 * float(theta[1]) + float(theta[2]) else: y_ = x1 * theta[0] + x2 * theta[1] return y_ z = predict(x1, x2, theta, base=True) z.shape = x1.shape 1
如果希望使用矩阵与矩阵相乘，将x1，x2组合成一个矩阵X，然后：
def predict(x1, x2, theta, base=False): if base: y_ = X * self.theta[0:2] + self.theta[2] else: y_ = X * self.theta return y_ z = predict(X, theta, base=True) z.shape = x1.shape
两种方法获得z后，都要将z的shape同样转换为（4，100）。
ax.plot_surface(x1, x2, z, rstride=1, cstride=1, cmap=plt.cm.jet) ##画超平面 cmap=plt.cm.jet彩图 ax.set_title(u'房屋租赁价格预测') plt.show()
最后，使用plot_surface画图。rstride 和 cstride：分别表示行跨度和列跨度，用于控制曲面的网格线密度。默认值均为 1，表示每行和每列都画线。如果将其设置为 2，则表示每隔一行或一列画一条线。cmap：表示曲面的颜色映射，用于表示高度值与颜色的对应关系。可以使用 plt.cm 模块提供的内置颜色映射，如 plt.cm.jet 表示使用蓝-绿-黄-红的颜色映射。也可以自定义颜色映射。
最终的绘制结果为：
代码比较简单，就不发合并后的代码了，有任何问题直接文末留言即可。如需下载合并后的代码可点此下载
另外实际使用过程中建议封装成类。
在实际项目中，单纯的一次线性回归可能效果并不理想，此时可能会考虑才用特征扩张来优化模型，具体内容可查看
线性回归 特征扩展的原理与python代码的实现
