前言

在上一篇文章我们了解了时间复杂度，今天我们就从空间的角度来分析一个算法。

1. 空间复杂概念

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。（大O渐进法在时间复杂度的介绍中有详细解释，这里就不具体说明）

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

2. 实例演示介绍

2.1 冒泡排序的空间复杂度分析

void BubbleSort(int* a, int n)
{
  assert(a);
  for (size_t end = n; end > 0; --end)
  {
  int exchange = 0;
  for (size_t i = 1; i < end; ++i)
  {
    if (a[i - 1] > a[i])
    {
    Swap(&a[i - 1], &a[i]);
    exchange = 1;
    }
  }
  if (exchange == 0)
    break;
  }
}

根据空间复杂度的判断条件，我们要关注的是额外的创建的空间，那么这里为实现该代码逻辑的运行额外创建的变量有end, i,以及exchange，很明显这里是一个常数的量级，那么这里的空间复杂度是O(1)。

2.2  循环判断斐波那契函数的第n项

long long* Fibonacci(size_t n)
{
 if(n==0)
 return NULL;
 long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
 fibArray[0] = 0;
 fibArray[1] = 1;
 for (int i = 2; i <= n ; ++i)
 {
 fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
 return fibArray;
}

这里我们可以看到，此处用动态内存开辟，开辟了（n+1) long long类型大小的空间，而且没看到比O(n)更大量级的额外空间开辟,那么很明显的得到，此处的空间复杂度是O(N)。

2.3 计算阶乘递归Fac的空间复杂度

在讲解这个程序的空间复杂度，首先这里要和大家简单的介绍一个概念，也就是一个函数在使用时，操作系统会为这个函数开辟一块空间，在使用结束后销毁，这个具体细节我会在后续对函数栈帧的创建与销毁中为大家详细介绍。

long long Fac(size_t N)
{
 if(N == 0)
 return 1;
 return Fac(N-1)*N;
}

对于上面的递归调用和结束，逻辑如上，只有在最后一次递归结束后才会逐渐向上结束函数Fac（N）,那么在这个过程中，Fac(N)不断向下创建的空间是不断叠加不会销毁的，所以这里由递归导致的空间复杂度是O(N)。