二叉树
二叉树解题的思维模式分两类：
1、是否可以通过遍历一遍二叉树得到答案？如果可以，用一个 traverse 函数配合外部变量来实现，这叫「遍历」的思维模式。
2、是否可以定义一个递归函数，通过子问题（子树）的答案推导出原问题的答案？如果可以，写出这个递归函数的定义，并充分利用这个函数的返回值，这叫「分解问题」的思维模式。
两个经典排序算法 快速排序 和 归并排序，对于它俩，你有什么理解？
快速排序就是个二叉树的前序遍历，归并排序就是个二叉树的后序遍历。
快速排序的逻辑是，若要对 nums[lo..hi] 进行排序，我们先找一个分界点 p，通过交换元素使得
nums[lo..p-1] 都小于等于 nums[p]，且 nums[p+1..hi] 都大于 nums[p]，然后递归地去 nums[lo..p-1] 和 nums[p+1..hi] 中寻找新的分界点，最后整个数组就被排序了。
void sort(int[] nums, int lo, int hi) { /****** 前序遍历位置 ******/ // 通过交换元素构建分界点 p int p = partition(nums, lo, hi); /************************/ sort(nums, lo, p - 1); sort(nums, p + 1, hi); }
归并排序的逻辑，若要对 nums[lo..hi] 进行排序，我们先对 nums[lo..mid] 排序，再对 nums[mid+1..hi] 排序，最后把这两个有序的子数组合并，整个数组就排好序了。
// 定义：排序 nums[lo..hi] void sort(int[] nums, int lo, int hi) { int mid = (lo + hi) / 2; // 排序 nums[lo..mid] sort(nums, lo, mid); // 排序 nums[mid+1..hi] sort(nums, mid + 1, hi); /****** 后序位置 ******/ // 合并 nums[lo..mid] 和 nums[mid+1..hi] merge(nums, lo, mid, hi); /*********************/ }
树的深度
104. 二叉树的最大深度
给定一个二叉树，找出其最大深度。
二叉树的深度为根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。
说明: 叶子节点是指没有子节点的节点。
思路一：遍历一遍二叉树，用一个外部变量记录每个节点所在的深度，取最大值就可以得到最大深度，这就是遍历二叉树计算答案的思路。
/** * Definition for a binary tree node. * public class TreeNode { * int val; * TreeNode left; * TreeNode right; * TreeNode() {} * TreeNode(int val) { this.val = val; } * TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) { * this.val = val; * this.left = left; * this.right = right; * } * } */ // 遍历二叉树的思路 class Solution { // 记录最大深度 int res = 0; // 记录遍历到的节点的深度 int depth = 0; public int maxDepth(TreeNode root) { traverse(root); return res; } private void traverse(TreeNode root){ if(root == null) return; // 前序位置 depth++; if(root.left == null && root.right == null){ // 到达叶子节点，更新最大深度 res = Math.max(res, depth); } traverse(root.left); traverse(root.right); // 后序位置 depth--; } }
1、为什么需要在前序位置增加 depth，在后序位置减小 depth？
因为前面说了，前序位置是进入一个节点的时候，后序位置是离开一个节点的时候，depth 记录当前递归到的节点深度，你把 traverse 理解成在二叉树上游走的一个指针，所以当然要这样维护。
2、对 res 的更新，放到前中后序位置都可以，只要保证在进入节点之后，离开节点之前（即 depth 自增之后，自减之前）就行了。
思路二：一棵二叉树的最大深度可以通过子树的最大深度推导出来，这就是分解问题计算答案的思路。
// 分解二叉树的思路 class Solution { // 定义：输入根节点，返回这棵二叉树的最大深度 public int maxDepth(TreeNode root) { if(root == null) return 0; // 利用定义，计算左右子树的最大深度 int leftMax = maxDepth(root.left); int rightMax = maxDepth(root.right); // 整棵树的最大深度等于左右子树的最大深度取最大值， // 然后再加上根节点自己 int res = Math.max(leftMax, rightMax) + 1; return res; } }
前序遍历
// 遍历二叉树的思路
List<Integer> res = new LinkedList<>(); // 返回前序遍历结果 List<Integer> preorderTraverse(TreeNode root) { traverse(root); return res; } // 二叉树遍历函数 void traverse(TreeNode root) { if (root == null) { return; } // 前序位置 res.add(root.val); traverse(root.left); traverse(root.right); }
是否能够用「分解问题」的思路，来计算前序遍历的结果？
换句话说，不要用像 traverse 这样的辅助函数和任何外部变量，单纯用题目给的 preorderTraverse 函数递归解题，会不会？
思路：一棵二叉树的前序遍历结果 = 根节点 + 左子树的前序遍历结果 + 右子树的前序遍历结果
// 定义：输入一棵二叉树的根节点，返回这棵树的前序遍历结果 List<Integer> preorderTraverse(TreeNode root) { List<Integer> res = new LinkedList<>(); if (root == null) { return res; } // 前序遍历的结果，root.val 在第一个 res.add(root.val); // 利用函数定义，后面接着左子树的前序遍历结果 res.addAll(preorderTraverse(root.left)); // 利用函数定义，最后接着右子树的前序遍历结果 res.addAll(preorderTraverse(root.right)); return res; }
中序和后序遍历也是类似的，只要把 add(root.val) 放到中序和后序对应的位置就行了
这个解法短小精干，但为什么不常见呢？
一个原因是这个算法的复杂度不好把控，比较依赖语言特性。
Java 的话无论 ArrayList 还是 LinkedList，addAll 方法的复杂度都是 O(N)，所以总体的最坏时间复杂度会达到 O(N^2)，除非你自己实现一个复杂度为 O(1) 的 addAll 方法，底层用链表的话是可以做到的，因为多条链表只要简单的指针操作就能连接起来。
1、如果把根节点看做第 1 层，如何打印出每一个节点所在的层数
// 二叉树遍历函数 void traverse(TreeNode root, int level) { if (root == null) { return; } // 前序位置 printf("节点 %s 在第 %d 层", root, level); traverse(root.left, level + 1); traverse(root.right, level + 1); } // 这样调用 traverse(root, 1);
2、如何打印出每个节点的左右子树各有多少节点？
// 定义：输入一棵二叉树，返回这棵二叉树的节点总数 int count(TreeNode root) { if (root == null) { return 0; } int leftCount = count(root.left); int rightCount = count(root.right); // 后序位置 printf("节点 %s 的左子树有 %d 个节点，右子树有 %d 个节点", root, leftCount, rightCount); return leftCount + rightCount + 1; }
543. 二叉树的直径
给定一棵二叉树，你需要计算它的直径长度。一棵二叉树的直径长度是任意两个结点路径长度中的最大值。这条路径可能穿过也可能不穿过根结点。
关键在于，每一条二叉树的「直径」长度，就是一个节点的左右子树的最大深度之和。
现在让求整棵树中的最长「直径」，那直截了当的思路就是遍历整棵树中的每个节点，然后通过每个节点的左右子树的最大深度算出每个节点的「直径」，最后把所有「直径」求个最大值即可。
class Solution { // 记录最大直径的长度 int maxDiameter = 0; public int diameterOfBinaryTree(TreeNode root) { // 对每个节点计算直径，求最大直径 traverse(root); return maxDiameter; } // 遍历二叉树 private void traverse(TreeNode root){ if(root == null) return; // 对每个节点计算直径 int leftMax = maxDepth(root.left); int rightMax = maxDepth(root.right); int myDiameter = leftMax + rightMax; // 更新全局最大直径 maxDiameter = Math.max(maxDiameter, myDiameter); traverse(root.left); traverse(root.right); } // 计算二叉树的最大深度 private int maxDepth(TreeNode root){ if(root == null) return 0; int leftMax = maxDepth(root.left); int rightMax = maxDepth(root.right); return Math.max(leftMax, rightMax) + 1; } }
解法是正确的，但是运行时间很长，原因也很明显，traverse 遍历每个节点的时候还会调用递归函数 maxDepth，而 maxDepth 是要遍历子树的所有节点的，所以最坏时间复杂度是 O(N^2)。
由于前序位置无法获取子树信息，所以只能让每个节点调用 maxDepth 函数去算子树的深度。那如何优化？我们应该把计算「直径」的逻辑放在后序位置，准确说应该是放在 maxDepth 的后序位置，因为 maxDepth 的后序位置是知道左右子树的最大深度的。
class Solution { // 记录最大直径的长度 int maxDiameter = 0; public int diameterOfBinaryTree(TreeNode root) { maxDepth(root); return maxDiameter; } // 计算二叉树的最大深度 private int maxDepth(TreeNode root){ if(root == null) return 0; int leftMax = maxDepth(root.left); int rightMax = maxDepth(root.right); // 后序位置，顺便计算最大直径 int myDiameter = leftMax + rightMax; // 更新全局最大直径 maxDiameter = Math.max(maxDiameter, myDiameter); return Math.max(leftMax, rightMax) + 1; } }
层序遍历
二叉树题型主要是用来培养递归思维的，而层序遍历属于迭代遍历，比较简单
// 输入一棵二叉树的根节点，层序遍历这棵二叉树 void levelTraverse(TreeNode root) { if (root == null) return; Queue<TreeNode> q = new LinkedList<>(); q.offer(root); // 从上到下遍历二叉树的每一层 while (!q.isEmpty()) { int sz = q.size(); // 从左到右遍历每一层的每个节点 for (int i = 0; i < sz; i++) { TreeNode cur = q.poll(); // 将下一层节点放入队列 if (cur.left != null) { q.offer(cur.left); } if (cur.right != null) { q.offer(cur.right); } } } }
这里面 while 循环和 for 循环分管从上到下和从左到右的遍历
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