3.2 矩阵制定
上述构造也可以以矩阵的形式实现。
基本思想是将变量值和「程序计数器」存储在进程状态s中，并让状态转换矩阵A代表节点之间的链接。
矩阵结构的运算可以定义为一个离散时间的动态过程
其中非线性向量值函数
现在按元素定义，如（2）中所示。状态转移矩阵A的内容很容易从网络公式中解码出来——矩阵元素是节点之间的权重。该矩阵公式类似于[3]中提出的「概念矩阵」框架。
4 例子
假设要实现一个简单的函数y=x，也就是说，输入变量x的值应该传递给输出变量y。使用语言
可以将其编码为（让「入口点」现在不是第一行而是第三行）：
生成的感知器网络如图2所示。实线代表正连接（权重为1），虚线代表负连接（权重-1）。与图1相比，重新绘制了网络结构，并通过在节点中集成延迟元件来简化网络结构。
图2 简单程序的网络实现在矩阵形式中，上面的程序看起来像
矩阵A中的前两行/列对应于连接到代表两个变量Y和X的节点的链接，接下来的三行代表三个程序行（1、2和3），最后两个代表分支指令所需的附加节点（3'和3''）。然后是初始（迭代前）和最终（迭代后，找到固定点时）的状态
如果变量节点的值将严格保在0和1之间，则动态系统（3）的操作将是线性的，该函数
根本没有影响。原则上，然后可以在分析中使用线性系统理论。例如，在图3中，示出了状态转移矩阵A的特征值。即使在上面的例子中单位圆外有特征值，非线性使得迭代总是稳定的。事实证明，迭代总是在
步骤之后收敛，其中
。
图3 简单程序的「特征值」
5 讨论
5.1 理论方面
结果表明，图灵机可以编码为感知器网络。根据定义，所有可计算函数都是图灵可计算的——在可计算性理论的框架内，不存在更强大的计算系统。这就是为什么，可以得出结论——
循环感知器网络（如上所示）是图灵机的（又一种）形式。
这种等价的好处是可计算性理论的结果很容易获得——例如，给定一个网络和一个初始状态，就不可能判断这个过程最终是否会停止。上述理论等价性并没有说明计算效率的任何信息。与传统的图灵机实现（实际上是今天的计算机）相比，网络中发生的不同机制可以使一些功能在这个框架中更好地实现。 至少在某些情况下，例如，一个算法的网络实现可以通过允许snapshot向量中的多个「程序计数器」来被并行化。网络的运行是严格本地的，而不是全局的。一个有趣的问题出现了，例如，是否可以在网络环境中更有效地攻击NP完全问题！与语言
相比，网络实现具有以下「扩展」：
变量可以是连续的，而不仅仅是整数值。实际上，呈现实数的（理论）能力使网络实现比语言
更强大，所有以语言呈现的数字都是有理数。
可以同时存在各种「程序计数器」，并且控制的转移可能是「模糊的」，这意味着指令节点提供的程序计数器值可能是非整数。
一个较小的扩展是可自由定义的程序入口点。这可能有助于简化程序——例如，变量的复制在上面的三个程序行中完成，而名义解决方案（参见[1]）需要七行和一个额外的局部变量。
与原始程序代码相比，矩阵公式显然是比程序代码更「连续」的信息表示形式——可以（经常）修改参数，而迭代结果不会突然改变。这种「冗余」也许可以在某些应用中使用。例如，当使用遗传算法（GA）进行结构优化时，可以使遗传算法中使用的随机搜索策略更加高效：在系统结构发生变化后，可以搜索连续成本函数的局部最小值使用一些传统技术（参见[4]）。通过示例学习有限状态机结构，如[5]中所述，可以知道：在这种更复杂的情况下也采用迭代增强网络结构的方法。不仅神经网络理论可能受益于上述结果——仅看动态系统公式（3），很明显，在可计算性理论领域发现的所有现象也都以简单的形式存在——寻找非线性动态过程。例如，停机问题的不可判定性是系统论领域的一个有趣贡献：对于任何表示为图灵机的决策过程，都存在形式（3）的动态系统，它违背了这个过程——对于例如，无法构建通用的稳定性分析算法。
5.2 相关工作
所呈现的网络结构与递归来Hopfield神经网络范式之间存在一些相似之处（例如，参见[2]）。在这两种情况下，「输入」都被编码为网络中的初始状态，「输出」在迭代后从网络的最终状态中读取。Hopfield网络的固定点是预编程的模式模型，输入是「噪声」模式——该网络可用于增强损坏的模式。
中非线性函数的展望（2）使得上述「图灵网络」中可能的状态数量是无限的。与单元输出始终为-1或1的Hopfield网络相比，可以看出，理论上，这些网络结构有很大不同。例如，虽然Hopfield网络中的稳定点集是有限的，但以图灵网络为代表的程序通常具有无限数量的可能结果。Hopfield网络的计算能力在[6]中进行了讨论。Petri网是基于事件和并发系统建模的强大工具[7]。Petri网由位和转移以及连接它们的弧组成。每个地方可能包含任意数量的token，token的分布称为Petri网的标记。如果转换的所有输入位置都被标记占用，则转换可能会触发，从每个输入位置删除一个标记，并向其每个输出位置添加一个标记。可以证明，具有附加抑制弧的扩展Petri网也具有图灵机的能力（参见[7]）。上述图灵网与Petri网的主要区别在于Petri网的框架更为复杂，具有专门定制的结构，不能用简单的一般形式（3）来表达。参考1 Davis, M. and Weyuker, E.: Computability, Complexity, and Languages---Fundamentals of Theoretical Computer Science. Academic Press, New York, 1983.2 Haykin, S.: Neural Networks. A Comprehensive Foundation. Macmillan College Publishing, New York, 1994.3 Hyötyniemi, H.: Correlations---Building Blocks of Intelligence? In Älyn ulottuvuudet ja oppihistoria (History and dimensions of intelligence), Finnish Artificial Intelligence Society, 1995, pp. 199--226.4 Hyötyniemi, H. and Koivo, H.: Genes, Codes, and Dynamic Systems. In Proceedings of the Second Nordic Workshop on Genetic Algorithms (NWGA'96), Vaasa, Finland, August 19--23, 1996.5 Manolios, P. and Fanelli, R.: First-Order Recurrent Neural Networks and Deterministic Finite State Automata. Neural Computation 6, 1994, pp. 1155--1173.6 Orponen, P.: The Computational Power of Discrete Hopfield Nets with Hidden Units. Neural Computation 8, 1996, pp. 403--415.7 Peterson, J.L.: Petri Net Theory and the Modeling of Systems. Prentice--Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1981.参考资料：http://users.ics.aalto.fi/tho/stes/step96/hyotyniemi1/
