01、大数定律

大数定律是一种描述当实验次数很大时所呈现的概率性质的定律。本文给出弱大数定理以及伯努利大数定理的验证。

弱大数定理（辛钦大数定理）设X1,X2,…是相互独立、服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望E(Xk)=μ(k=1,2,…)。作前n个变量的算术平均图片，则对于任意ε>0，有：

取随机变量序列独立且服从区间［0,2］上的均匀分布，检验弱大数定理。代码如下：

运行结果如图1所示。

■ 图1

从输出结果可以看到，随着n值的增大，算术平均值与该均匀分布的数学期望1越来越接近。

伯努利大数定理 设fA是n次独立重复实验中事件A发生的次数，p是事件A在每次实验中发生的概率，则对于任意正数ε>0，有

模拟独立重复实验，事件A发生记为1，不发生记为0，取每次实验中事件A发生的概率p=0.3，检验伯努利大数定理。代码如下：

运行结果如图2所示。

■ 图2

注释/
np.array(rand_freq)［::50］将列表rand_freq转换为numpy的array，并对其使用切片。一维数组切片的标准形式为“［start:end:step］”,表示以步长step取索引为start到end（不包括end）的元素，当start与end缺失时，表示以步长step取索引为0到末尾的元素。
从上述输出结果可以看到，随着n的增大，事件发生的频率与事件发生的概率之差越来越接近于0。