钞票找零问题是一个非常古老的问题,百度那些都有,本文将一步步的讲解关于钞票找零的算法以及优化过程.
贪心算法
假设有1,2,5,10面值的钞票,现在需要找零89元,我们该怎么做呢?
解析一:
这里面,最简单的一种方法,也就是89/1=89 了,我们只需要89张1元面值的即可,
<?php class Change { protected $moneyArr = \[1, 2, 5, 10\];//零钱 protected $changeMethod;//找零方法 public function __construct($moneyArr = null) { $moneyArr == null || ($this->moneyArr = $moneyArr); sort($this->moneyArr);//顺序排序零钱 } public function change($moneyNum) { $moneyArr = $this->moneyArr; $changeMethod = \[\]; while ($faceValue = array_shift($moneyArr)) {//从小到大 if ($faceValue <= $moneyNum) {//面值必须小于等于找零金额 $quotient = floor($moneyNum / $faceValue);//做除数运算 $moneyNum -= intval($quotient * $faceValue);//减去已经找过的 if (isset($changeMethod\[$faceValue\])) { $changeMethod\[$faceValue\] += $quotient; } else { $changeMethod\[$faceValue\] = $quotient; } } if ($moneyNum == 0) { break; } } if ($moneyNum>0){ return null; } $this->changeMethod = $changeMethod; return $this->changeMethod; } } $change = new Change(\[ 2, 5, 10\]); var_dump($change->change(89)); //
这时候有个问题就是,都是按照最小面值找的,找零89块钱,竟然需要89张1元的纸币,那能不能在能找零的情况,尽可能的将找的纸币数量缩小呢?
这时候我们就需要用到贪心算法
贪心算法是指,在每一次情况下,都选择当前最优的解进行处理,
在这个场景里面,最优的解就应该是从大到小进行找零了,89块钱,先找最大面值的50块钱,然后找10块钱的,以此类推
<?php class Change { protected $moneyArr = \[1, 2, 5, 10\];//零钱 protected $changeMethod;//找零方法 public function __construct($moneyArr = null) { $moneyArr == null || ($this->moneyArr = $moneyArr); rsort($this->moneyArr);//倒序排序零钱 } public function change($moneyNum) { $moneyArr = $this->moneyArr; $changeMethod = \[\]; while ($faceValue = array_shift($moneyArr)) {//从小到大 if ($faceValue <= $moneyNum) {//面值必须小于等于找零金额 $quotient = floor($moneyNum / $faceValue);//做除数运算 $moneyNum -= intval($quotient * $faceValue);//减去已经找过的 if (isset($changeMethod\[$faceValue\])) { $changeMethod\[$faceValue\] += $quotient; } else { $changeMethod\[$faceValue\] = $quotient; } } if ($moneyNum == 0) { break; } } if ($moneyNum>0){ return null; } $this->changeMethod = $changeMethod; return $this->changeMethod; } } $change = new Change(\[1, 2, 5, 10\]); var_dump($change->change(89)); var_dump($change->change(89)); //array(3) { \[10\]=> float(8) \[5\]=> float(1) \[2\]=> float(2) }
这样就可以在尽可能纸币数量小的时候找零了
动态规划
在上面的从大到小进行做除数运算,获得一个找零解之后,我们现在研究另一个问题:
当钞票金额只有3,5,需要找零11元时,你会发现上面的算法根本算不出结果,因为它不管从大到小进行除数找零,还是从小到大进行除数找零都不能找到结果(11-3*3=2,11-2*5=1),但其实11元是有解的(2*3+5)
这时候,我们需要在贪心算法的基础上,进行相应的规划(当每次找一个最优解时,尝试通过该解之后继续寻找,但是找零方法只记录到缓存中,如果尝试找零成功,则记录,尝试找零失败,则放弃这个最优解):
<?php class Change { protected $moneyArr = \[1, 2, 5, 10\];//零钱 protected $changeMethod;//找零方法 public function __construct($moneyArr = null) { $moneyArr == null || ($this->moneyArr = $moneyArr); rsort($this->moneyArr);//倒序排序零钱 } public function change(int $moneyNum,?array $moneyArr=null) { if ($moneyArr===null){ $moneyArr =$this->moneyArr; } $changeMethod = \[\]; while ($faceValue = array_shift($moneyArr)) {//从大到小 if ($faceValue <= $moneyNum) {//面值必须小于等于找零金额 $quotient = floor($moneyNum / $faceValue);//做除数运算,这里有着最大面值的解,但是因为规划问题,如果$quotient过大可能会造成无解,所以当无解的时候,尝试降低数量 for ($i = $quotient; $i > 0; $i--) { $changeMethodTemp = \[\];//找零方法缓存 $moneyNumTemp=$moneyNum;//金额缓存 $moneyNumTemp -= intval($i * $faceValue);//减去已经找过的 if (isset($changeMethodTemp\[$faceValue\])) { $changeMethodTemp\[$faceValue\] += $i; } else { $changeMethodTemp\[$faceValue\] = $i; } //如果当前没有找清,则尝试判断剩余情况是否能找清 if ($moneyNumTemp == 0){ $moneyNum = 0; $changeMethod = $changeMethodTemp; break 2; }elseif($moneyNumTemp > 0) { $changeMethodTemp2 = $this->change($moneyNumTemp,$moneyArr ); if ($changeMethodTemp2 === null) { continue; } // 有值代表能找清 $moneyNum = 0; $changeMethod = $changeMethodTemp + $changeMethodTemp2; break 2; } } } } if ($moneyNum > 0) { return null; } $this->changeMethod = $changeMethod; return $this->changeMethod; } } $change = new Change(\[3, 5\]); var_dump($change->change(11));
上面的算法步骤如下:
1:从大到小取出 面值
2:根据最大的做除数运算,获取到当前面值faceValue最多可以找quotient张,
3:根据quotient做循环操作,尝试quotient是否存在找零成功的解,如果存在则直接返回
4:如果quotient不存在找零成功,则继续尝试找quotient-1,以此类推,知道quotient等于0,则代表该面值不能找零成功
5:将面值改为第二大,继续2,3,4操作
加强版动态规划找最优解
通过上面的算法,我们实现了简单的动态规划
使其在面额为3,5,找零11元的情况下,被金额5"贪心迷惑",找2个金额5,导致算法无解
这个算法实现了在这种情况下,不贪心,不被眼前的2*5迷惑,为了"大局",舍弃了表面的最优
那么?这是最优解吗?
当面额只有1,30,50,找零90的情况下,根据贪心+规划算法,我们能得到50*1+30*1+1*10的情况,这需要用到12张钞票,但是实际情况我们只需要找30*3,3张钞票即可解决该问题.这代表着我们需要完全遍历所有能找零的方法,然后根据钞票张数不同进行选择最优解
<?php class Change { protected $moneyArr = \[1, 2, 5, 10\];//零钱 protected $changeMethod;//找零方法 public function __construct($moneyArr = null) { $moneyArr == null || ($this->moneyArr = $moneyArr); rsort($this->moneyArr);//倒序排序零钱 } public function change(int $moneyNum,?array $moneyArr=null) { if ($moneyArr===null){ $moneyArr =$this->moneyArr; } $optimalChangeMethod = \[\];//当前最优方法 $optimalNum = -1;//当前最优张数 while ($faceValue = array_shift($moneyArr)) {//从大到小 if ($faceValue <= $moneyNum) {//面值必须小于等于找零金额 $quotient = floor($moneyNum / $faceValue);//做除数运算,这里有着最大面值的解,但是因为规划问题,如果$quotient过大可能会造成无解,所以当无解的时候,尝试降低数量 for ($i = $quotient; $i > 0; $i--) { $changeMethodTemp = \[\];//找零方法缓存 $moneyNumTemp=$moneyNum;//金额缓存 $moneyNumTemp -= intval($i * $faceValue);//减去已经找过的 if (isset($changeMethodTemp\[$faceValue\])) { $changeMethodTemp\[$faceValue\] += $i; } else { $changeMethodTemp\[$faceValue\] = $i; } //如果当前没有找清,则尝试判断剩余情况是否能找清 if ($moneyNumTemp == 0){//如果当前情况直接找清,则判断是否优于最优解 $banknoteNum = array_sum($changeMethodTemp); if ($optimalNum==-1||$banknoteNum<$optimalNum){ $optimalNum = $banknoteNum; $optimalChangeMethod = $changeMethodTemp; } }elseif($moneyNumTemp > 0) { $changeMethodTemp2 = $this->change($moneyNumTemp,$moneyArr); if ($changeMethodTemp2 === null) { continue; } $banknoteNum = array\_sum($changeMethodTemp2)+ array\_sum($changeMethodTemp); if ($optimalNum==-1||$banknoteNum<$optimalNum){ // 有值代表能找清 $optimalNum =$banknoteNum; $optimalChangeMethod = $changeMethodTemp + $changeMethodTemp2; } } } } } if ($optimalNum==-1){ return null; } $this->changeMethod = $optimalChangeMethod; return $this->changeMethod; } } $change = new Change(\[3,5\]); var_dump($change->change(11));
