L2-离散变量分布：Bernoulli分布、二项分布、泊松分布等

1. 定义

随机试验的每一个结果都对应变量X 的一个确定的取值，因此变量X 是样本空间S 上的函数：

离散型随机变量：如果随机变量X 的取值是有限个或可列无穷个，则称X为离散型随机变量。

设离散型随机变量X XX的所有可能取值为X₁ x₂ , … , x n离散型随机变量X的分布律如下：

或

对于任意自然数n

2. 常见离散变量分布

（1）Bernoulli分布

Bernoulli分布又称两点分布或0-1分布。

伯努利试验（Bernoulli trial）是只有两种可能结果的单次随机试验，即对于一个随机变量X而言：

如果随机变量X 的分布律为

则称随机变量X XX服从参数为p 的Bernoulli分布，记作X ∼ B ( 1 , p )

（2）二项分布

如果随机变量X 的分布律为

则称随机变量X XX服从参数为( n , p ) (n,p)(n,p)的二项分布，记作X ∼ B ( n , p ) X \sim B(n,p)X∼B(n,p)。

二项分布(Binomial distribution)是n 重伯努利试验成功次数的离散概率分布。显然，当n = 1时，X ∼ B ( 1 , p ) ，此时X XX服从Bernoulli分布，因此Bernoulli分布是二项分布的一个特例。

（3） 多项分布

多项式分布(Multinomial Distribution)是二项式分布的推广。n次伯努利实验，每次试验的结果可以有多m 个，且m个结果发生的概率互斥且和为1，则发生其中一个结果X次的概率就是多项式分布。

（4） Poisson分布

如果随机变量X的分布律为

其中，λ > 0为常数

则称随机变量X XX服从参数$\lambda $的Poisson分布。

可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，在一定条件下，都服从Poisson分布。

Poisson定理

设在Bernoulli试验中，以P n 代表事件A 在试验中发生的概率，它与试验总数n 有关。如果

由Poisson定理可知，若随机变量X ∼ B ( n , p ) ，则当n nn比较大，p比较小时，令λ = n p ，则有

（5） 几何分布

随机变量X 的分布律为

其中p ≥ 0 , q ≥ 0

（6） 超几何分布

随机变量X 的分布律为