《数论概论（原书第4版）》一第3章 勾股数组与单位圆

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第3章 勾股数组与单位圆

在前一章中我们描述了

的所有整数解a,b,c．如果用c2除这个方程则得

所以,有理数对(a/c,b/c)是方程x2+y2=1的解．

大家知道方程x2+y2=1代表中心在(0,0)半径为1的圆C．我们打算从几何角度来求圆C上x坐标与y坐标都是有理数的点．注意圆上有4个明显的具有有理数坐标的点:(±1,0)与(0,±1)．假设我们取任意(有理)数m,观察过点(-1,0)斜率为m的直线L(见图31)．直线L由方程

给出．从图形上看交集C∩L恰好由两个点组成,其中一个是(-1,0),我们来求另一个．

这正好是个二次方程,所以可用二次方程求根公式来解出x．但是,有一种更容易的解方程的方法．由于点(-1,0)在C与L上,我们知道x=-1必是一个解．因此可用x+1去除二次多项式来求另一个根:

这样,对每个有理数m得到方程x2+y2=1的一个有理数解

另一方面,如果得到一个有理数解(x1,y1),则过点(x1,y1)与(-1,0)的直线斜率是有理数．所以,通过取m的所有可能值,上述过程就生成方程x2+y2=1的所有有理数解．（点(-1,0)例外，它对应着斜率m=∞的铅直线．）我们将结果概括成下述定理．

定理31圆x2+y2=1上的坐标是有理数的点都可由公式

得到，其中m取有理数值．(点(-1,0)例外,这是当m→∞时的极限值．)

圆上的有理点公式如何与勾股数组公式联系在一起呢?如果将有理数m写成分数v/u,则公式变成

可将这里的描述与第2章的公式相联系．

习题

31正如我们已看到的,所有勾股数组（a,b,c）（其中b为偶数）有如下形式：
(a,b,c)=(u2-v2,2uv,u2+v2)（其中u,v为整数）．
23例如,(u,v)=(2,1)给出最小的勾股数组(3,4,5)．

(a)如果u与v有公因数,解释(a,b,c)不是本原勾股数组的原因．

(b)求出没有公因数的整数u>v>0,使得勾股数组(u2-v2,2uv,u2+v2)不是本原的．

(c)制作一个由满足1≤v

(d)应用(c)表求出使勾股数组(u2-v2,2uv,u2+v2)是本原的充分条件．

(e)证明在(d)中你给出的条件的确是充分的．

32(a)使用过点(1,1)的直线来描述圆
x2+y2=2
上所有坐标是有理数的点．

(b)如果试着用相同方法来求圆
x2+y2=3
上的所有具有有理坐标的点,会出什么问题？

33求双曲线
x2-y2=1
上坐标是有理数的点的公式．(提示：作过点(-1,0)且斜率为有理数m的直线,求直线与双曲线第二个交点的公式．)

34曲线
y2=x3+8
上有点(1,-3)与(-7/4,13/8)．过这两点的直线与曲线恰好在另一点相交，求第三个点．你能解释为什么第三个点的坐标是有理数吗?

35在第1章中介绍了既是平方数又是三角数的自然数，并且在习题11中对它们进行了研究．

（a）证明每个平方三角数都可用方程x2-2y2=1的正整数解来描述．（提示：将方程改写为m2=12n2+n．）

（b）点（1,0）在曲线x2-2y2=1上．设直线L经过点（1,0）且斜率为m．求出L与曲线的另一个交点．

（c）取m=vu，其中u2-2v2=1．证明（b）中求出的那个交点的坐标是整数，进而证明你找到了x2-2y2=1的一个正整数解（如果有必要，可以改变坐标的正负号）．

（d）从x2-2y2=1的解（3,2）出发，反复应用（b）和（c）求出更多x2-2y2=1的解．通过那些解找出另外一些平方三角数的例子．24

（e）证明这个过程会产生无穷多个不同的平方三角数．

（f）证明每个平方三角数都可通过这种方式来构造．（这个很难，如果不会也不用担心．）25