一、堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合 K = {k0 ， k1 ， k2 ， … ， kn-1} ，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足： Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >=K2i+2) i = 0 ， 1 ， 2… ，则称为小堆 ( 或大堆) 。（即双亲比孩子的数值小(大)——小(大)堆）将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆只有两种，即大堆和小堆，大堆就是父亲结点数据大于儿子结点数据，小堆则反之。

堆的性质：堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；堆总是一棵完全二叉树。

二、堆的实现

1、结构的定义

由于是堆的元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一位数组中的，所以堆的结构和顺序表的结构一样。

//符号和结构的声明
#define DEF_SIZE 5
#define CRE_SIZE 2
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
  HPDataType* data;
  int size;
  int capacity;
}HP;

2、堆的初识化

堆的初识化和顺序表的初始化一样。

//堆的初始化
void HeapInit(HP* php)
{
  assert(php);
  php->data = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * DEF_SIZE);
  if (php->data == NULL)
  {
    perror("malloc fail");
    exit(-1);
  }
  php->size = 0;
  php->capacity = DEF_SIZE;
}

3、堆的插入

堆的插入有两个需要注意的地方：

1、由于堆只会在尾部插入元素，所以我们不需要将 CheckCapacity 单独封装一个函数；

2、由于堆要求在插入元素之后仍保持堆的结构，即保持小根堆/大根堆，所以我们需要对堆进行向上调整，向上调整的过程其实也就是建堆的过程。

//堆的插入--需要保证插入之后仍然保持堆的结构
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
  assert(php);
  //检查容量
  if (php->size == php->capacity)
  {
    HPDataType* ptr = (HPDataType*)realloc(php->data, sizeof(HPDataType) * php->capacity * CRE_SIZE);
    if (ptr == NULL)
    {
      perror("realloc fail");
      exit(-1);
    }
    php->data = ptr;
    php->capacity *= CRE_SIZE;
  }
  //插入元素
  php->data[php->size] = x;
  php->size++;
  //保持堆结构--向上调整
  AdjustUp(php->data, php->size - 1);
}

4、堆的向上调整

这里我们以小根堆为例，如图：假设现在我们已经有了一个小根堆，现在我们往堆中 (堆尾) 插入一个元素，那么可能会出现两种情况：

1、插入的元素大于父节点，此时我们的堆仍保持小根堆结构，所以不需要改动；比如我们往堆中插入30；

2、插入的元素小于父节点；这种情况又可以分为两种：一是插入的节点虽然小于父节点，但是大于父节点的父节点，这种情况我们只需要交换父节点和该节点，使得堆保存小根堆的结构即可，比如我们插入20；二是该节点不仅小于父节点，还小于父节点的父节点，这种情况下我们就需要把该节点不断往上调整，直到把堆调整为小根堆，最坏的情况是该节点被调整为根节点，比如我们插入10；

//交换两个节点
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
  assert(p1 && p2);
  HPDataType tmp = *p1;
  *p1 = *p2;
  *p2 = tmp;
}
//向上调整--小根堆
void AdjustUp(HPDataType* data, int child)
{
  assert(data);
  int parent = (child - 1) / 2;  //找到父节点
  while (child > 0)  //当调整到根节点时不再继续调整
  {
    //当子节点小于父节点时交换
    if (data[child] < data[parent])
    {
      Swap(&data[child], &data[parent]);
      //迭代
      child = parent;
      parent = (child - 1) / 2;
    }
    //否则直接跳出循环
    else
    {
      break;
    }
  }
}

如果我们需要建大根堆，只需要把交换的条件修改一下即可。

//当子节点大于父节点时交换
if (data[child] > data[parent])

5、堆的删除

对于堆的删除有明确的规定：我们只能删除堆顶的元素；但是头删之后存在两个问题：

1、顺序表头删需要挪动数据，效率低下；

2、头删之后堆中各节点的父子关系完全被破坏；

对于上面的这些问题，我们有如下解决办法：

1、我们在删除之前先将堆顶和堆尾的元素交换，然后让size–，这样相当于删除了堆顶的元素，且效率达到了O(1)；

2、由于我们把堆尾元素交换到了堆顶，堆的结构遭到了破坏，所以设计一个向下调整算法来让保持堆的结构；

//删除堆顶的元素--需要保证删除之后仍然保持堆的结构
void HeapPop(HP* php)
{
  assert(php);
  assert(!HeapEmpty(php));
  //首先交换堆顶和堆尾的元素
  Swap(&php->data[0], &php->data[php->size - 1]);
  //删除堆尾的元素
  php->size--;
  //保持堆结构--向下调整
  AdjustDown(php->data, php->size, 0);
}

6、堆的向下调整

堆向下调整的思路和向上调整刚好相反 (我们还是以小根堆为例)：1、找出子节点中较小的节点；2、比较父节点与子节点，如果父节点大于子节点则交换两个节点；3、交换之后，原来的子节点成为新的父节点，然后继续 1 2 步骤，直到调整为堆的结构

//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* data, int n, int parent)
{
  assert(data);
  int minchild = parent * 2 + 1;
  //当子节点调整到堆尾时结束循环
  while (minchild < n)
  {
    //找出较小的子节点
    if (minchild + 1 < n && data[minchild + 1] < data[minchild])
    {
      minchild += 1;
    }
    //如果父节点大于较小的子节点就交换
    if (data[parent] > data[minchild])
    {
      Swap(&data[parent], &data[minchild]);
      //迭代
      parent = minchild;
      minchild = parent * 2 + 1;
    }
    //否则直接跳出循环
    else
    {
      break;
    }
  }
}

和向上调整类似，如果我们想要调整为大堆，也只需要改变交换条件：

//找出较大的子节点
if (minchild + 1 < n && data[minchild + 1] > data[minchild])
//如果父节点小于较小的子节点就交换
if (data[parent] < data[minchild])

7、取出堆顶的元素

//取堆顶的元素
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
  assert(php);
  assert(!HeapEmpty(php));
  return php->data[0];
}

8、返回堆的元素个数

//堆的元素个数
int HeapSize(HP* php)
{
  assert(php);
  return php->size;
}

9、判断堆是否为空

//堆的判空
bool HeapEmpty(HP* php)
{
  assert(php);
  return php->size == 0;
}

10、打印堆中的数据

//打印堆中的数据
void HeapPrint(HP* php)
{
  assert(php);
  int i = 0;
  for (i = 0; i < php->size; i++)
  {
    printf("%d ", php->data[i]);
  }
  printf("\n");
}

11、堆的销毁

//堆的销毁
void HeapDestory(HP* php)
{
  assert(php);
  free(php->data);
  php->capacity = php->size = 0;
}

三、完整代码

1、Heap.h

#pragma once
//头文件的包含
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <stdbool.h>
//符号和结构的声明
#define DEF_SIZE 5
#define CRE_SIZE 2
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
  HPDataType* data;
  int size;
  int capacity;
}HP;
//函数的声明
//堆的初始化
void HeapInit(HP* php);
//堆的销毁
void HeapDestory(HP* php);
//堆的插入
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);
//删除堆顶的元素
void HeapPop(HP* php);
//取堆顶的元素
HPDataType HeapTop(HP* php);
//堆的元素个数
int HeapSize(HP* php);
//堆的判空
bool HeapEmpty(HP* php);
//打印堆中的数据
void HeapPrint(HP* php);

2、Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "Heap.h"
//堆的初始化
void HeapInit(HP* php)
{
  assert(php);
  php->data = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * DEF_SIZE);
  if (php->data == NULL)
  {
    perror("malloc fail");
    exit(-1);
  }
  php->size = 0;
  php->capacity = DEF_SIZE;
}
//堆的销毁
void HeapDestory(HP* php)
{
  assert(php);
  free(php->data);
  php->capacity = php->size = 0;
}
//交换两个节点
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
  assert(p1 && p2);
  HPDataType tmp = *p1;
  *p1 = *p2;
  *p2 = tmp;
}
//向上调整--小根堆
void AdjustUp(HPDataType* data, int child)
{
  assert(data);
  int parent = (child - 1) / 2;  //找到父节点
  while (child > 0)  //当子节点为根节点时循环结束
  {
    //当子节点小于父节点时交换
    if (data[child] < data[parent])
    {
      Swap(&data[child], &data[parent]);
      //迭代
      child = parent;
      parent = (child - 1) / 2;
    }
    //否则直接跳出循环
    else
    {
      break;
    }
  }
}
//堆的插入--需要保证插入之后仍然保持堆的结构
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
  assert(php);
  //检查容量
  if (php->size == php->capacity)
  {
    HPDataType* ptr = (HPDataType*)realloc(php->data, sizeof(HPDataType) * php->capacity * CRE_SIZE);
    if (ptr == NULL)
    {
      perror("realloc fail");
      exit(-1);
    }
    php->data = ptr;
    php->capacity *= CRE_SIZE;
  }
  //插入元素
  php->data[php->size] = x;
  php->size++;
  //保持堆结构--向上调整
  AdjustUp(php->data, php->size - 1);
}
//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* data, int n, int parent)
{
  assert(data);
  int minchild = parent * 2 + 1;
  //当子节点调整到堆尾时结束循环
  while (minchild < n)
  {
    //找出较小的子节点
    if (minchild + 1 < n && data[minchild + 1] < data[minchild])
    {
      minchild += 1;
    }
    //如果父节点大于较小的子节点就交换
    if (data[parent] > data[minchild])
    {
      Swap(&data[parent], &data[minchild]);
      //迭代
      parent = minchild;
      minchild = parent * 2 + 1;
    }
    //否则直接跳出循环
    else
    {
      break;
    }
  }
}
//删除堆顶的元素--需要保证删除之后仍然保持堆的结构
void HeapPop(HP* php)
{
  assert(php);
  assert(!HeapEmpty(php));
  //首先交换堆顶和堆尾的元素
  Swap(&php->data[0], &php->data[php->size - 1]);
  //删除堆尾的元素
  php->size--;
  //保存堆结构--向下调整
  AdjustDown(php->data, php->size, 0);
}
//取堆顶的元素
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
  assert(php);
  assert(!HeapEmpty(php));
  return php->data[0];
}
//堆的元素个数
int HeapSize(HP* php)
{
  assert(php);
  return php->size;
}
//堆的判空
bool HeapEmpty(HP* php)
{
  assert(php);
  return php->size == 0;
}
//打印堆中的数据
void HeapPrint(HP* php)
{
  assert(php);
  int i = 0;
  for (i = 0; i < php->size; i++)
  {
    printf("%d ", php->data[i]);
  }
  printf("\n");
}

3、test.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "Heap.h"
int main()
{
  int a[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };
  HP hp;
  //堆的初始化
  HeapInit(&hp);
  //插入元素
  int i = 0;
  int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
  for (i = 0; i < len; i++)
  {
    HeapPush(&hp, a[i]);
  }
  HeapPrint(&hp);
  //删除堆顶元素
  HeapPop(&hp);
  HeapPrint(&hp);
  //取出堆顶元素
  HPDataType top = HeapTop(&hp);
  printf("%d\n", top);
  //堆排序
  for (i = 0; i < len - 1; i++)
  {
    printf("%d ", HeapTop(&hp));
    HeapPop(&hp);
  }
  //堆的销毁
  HeapDestory(&hp);
  return 0;
}

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【数据结构】二叉树 -- 堆