五、递归算法
（1）递归
递归：在运行的过程中通过调用本身进行“递”与“归”来解决问题的一种算法。递归算法一般用于解决三类问题： (1)数据的定义是按递归定义的。（Fibonacci函数） (2)问题解法按递归算法实现。 这类问题虽则本身没有明显的递归结构，但用递归求解比迭代求解更简单，如Hanoi问题。 (3)数据的结构形式是按递归定义的。 如二叉树、广义表等，由于结构本身固有的递归特性，则它们的操作可递归地描述。
（2）递归的三大要素
第一要素：明确你这个函数想要干什么
对于递归，很重要的一个事就是，这个函数的功能是什么，它要完成什么样的一件事，而这个，是完全由你自己来定义的。也就是说，我们先不管函数里面的代码什么，而是要先明白，你这个函数是要用来干什么。 比如，我定义了一个函数
//算 n 的阶乘(假设n不为0) int f(int n) { }
这个函数的功能是计算 n 的阶乘。好了，我们已经定义了一个函数，并且定义了它的功能是什么，接下来我们看第二要素。
第二要素：寻找递归结束条件
所谓递归，就是会在函数内部代码中，调用这个函数本身，所以，我们必须要找出递归的结束条件，不然的话，会一直调用自己，进入死循环。也就是说，我们需要找出当参数为啥时，递归结束，之后直接把结果返回，请注意，这个时候我们必须能根据这个参数的值，能够直接知道函数的结果是什么。 比如，上面那个例子，当 n = 1 时，那你应该能够直接知道 f(n) 是啥吧？此时，f(1) = 1。完善我们函数内部的代码，把第二要素加进代码里面，如下
// 算 n 的阶乘(假设n不为0) int f(int n) { if(n == 1) { return 1; } }
有人可能会说，当 n = 2 时，那我们可以直接知道 f(n) 等于多少啊，那我可以把 n = 2 作为递归的结束条件吗？ 当然可以，只要你觉得参数是什么时，你能够直接知道函数的结果，那么你就可以把这个参数作为结束的条件，所以下面这段代码也是可以的。
// 算 n 的阶乘(假设n>=2) int f(int n){ if(n == 2){ return 2; } }
注意我代码里面写的注释，假设 n >= 2，因为如果 n = 1时，会被漏掉，当 n <= 2时，f(n) = n，所以为了更加严谨，我们可以写成这样：
// 算 n 的阶乘(假设n不为0) int f(int n){ if(n <= 2){ return n; } }
第三要素：找出函数的等价关系式
第三要素就是，我们要不断缩小参数的范围，缩小之后，我们可以通过一些辅助的变量或者操作，使原函数的结果不变。例如，f(n) 这个范围比较大，我们可以让 f(n) = n * f(n-1)。这样，范围就由 n 变成了 n-1 了，范围变小了，并且为了原函数 f(n) 不变，我们需要让 f(n-1) 乘以 n。说白了，就是要找到原函数的一个等价关系式，f(n) 的等价关系式为 n * f(n-1)，即f(n) = n * f(n-1)。 找出了这个等价关系式，继续完善我们的代码，我们把这个等价式写进函数里。如下：
// 算 n 的阶乘(假设n不为0) int f(int n){ if(n <= 2){ return n; } // 把 f(n) 的等价操作写进去 return f(n-1) * n; }
至此，递归三要素已经都写进代码里了，所以这个 f(n) 功能的内部代码我们已经写好了。 这就是递归最重要的三要素。
（3）递归简单案例
案例1：斐波那契数列
斐波那契数列的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34....，即第一项 f(1) = 1,第二项 f(2) = 1.....,第 n 项目为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 项的值是多少。
1、第一递归函数功能
假设 f(n) 的功能是求第 n 项的值，代码如下：
int f(int n){ }
2、找出递归结束的条件
显然，当 n = 1 或者 n = 2 ,我们可以轻易着知道结果 f(1) = f(2) = 1。所以递归结束条件可以为 n <= 2。代码如下：
int f(int n){ if(n <= 2){ return 1; } }
3、找出函数的等价关系式
题目已经把等价关系式给我们了，所以我们很容易就能够知道 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
所以最终代码如下：
int f(int n){ // 1.先写递归结束条件 if(n <= 2){ return 1; } // 2.接着写等价关系式 return f(n-1) + f(n - 2); }
案例2：hzx跳台阶
hzx是一只勇敢的猪，一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求hzx跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
1、第一递归函数功能
假设 f(n) 的功能是求hzx跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法，代码如下：
int f(int n){ }
2、找出递归结束的条件
求递归结束的条件，我们直接把 n 压缩到很小很小就行了，因为 n 越小，我们就越容易直观着算出 f(n) 的多少，所以当 n = 1时，我们知道 f(1) 为多少吧？即 f(1) = 1。代码如下：
int f(int n) { if(n == 1) { return 1; } }
3、找出函数的等价关系式
每次跳的时候，hzx可以跳一个台阶，也可以跳两个台阶，也就是说，每次跳的时候，hzx有两种跳法。 第一种跳法：第一次hzx跳了一个台阶，那么还剩下n-1个台阶还没跳，剩下的n-1个台阶的跳法有f(n-1)种。 第二种跳法：第一次hzx跳了两个台阶，那么还剩下n-2个台阶还没，剩下的n-2个台阶的跳法有f(n-2)种。 所以，hzx的全部跳法就是这两种跳法之和了，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。 至此，等价关系式我们就求出来了。于是写出代码如下：
int f(int n) { if(n == 1) { return 1; } return f(n-1) + f(n-2); }
大家觉得上面的代码对不对？ 答案是不对的，当 n = 2 时，显然会有 f(2) = f(1) + f(0)。我们知道，f(0) = 0，按道理是递归结束，不用继续往下调用的，但我们上面的代码中，会继续调用 f(0) = f(-1) + f(-2)。这会导致无限调用，进入死循环。这也是我们需要注意的，关于递归结束条件是否够严谨问题，有很多人在使用递归的时候，由于结束条件不够严谨，导致出现死循环。 也就是说，当我们在第二步找出了一个递归结束条件的时候，可以把结束条件写进代码，然后进行第三步，但是请注意，当我们第三步找出等价函数之后，还得再返回去第二步，根据第三步函数的调用关系，会不会出现一些漏掉的结束条件。就像上面，f(n-2)这个函数的调用，有可能出现 f(0) 的情况，导致死循环，所以我们把它补上。 总代码如下：
int f(int n) { if(n <= 2) { return n; } return f(n-1) + f(n-2); }
案例3：汉诺塔问题
问题描述：
相传在古印度圣庙中，有一种被称为汉诺塔(Hanoi)的游戏。该游戏是在一块铜板装置上，有三根杆(编号A、B、C)，在A杆自下而上、由大到小按顺序放置64个金盘(如下图)。游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并仍保持原有顺序叠好。操作规则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上。
问题分析：
设三根柱子分别为 x,y, z , 盘子在 x 柱上，要移到 z 柱上。
1、当 n=1 时，盘子直接从 x 柱移到 z 柱上；
2、当 n>1 时, 则
①设法将 前 n –1 个盘子 借助 z ，从 x 移到y 柱上，把 盘子 n 从 x 移到 z 柱上；
② 把n –1 个盘子从 y 移到 z 柱上。
汉诺塔问题可以分成三个子问题：
1.Hanoi(n-1, x, z, y) //将X柱上的n-1个园盘借助Z柱移到Y柱上，此时X柱只剩下第n个园盘； 2.Move( n, x， z) //将X柱上的第n个移动到Z柱 3.Hanoi(n-1, y, x, z) //将Y柱上的n-1个园盘借助X柱移到Z柱上； n=1时可以直接求解
可视化图解
#include <iostream> using namespace std; long count = 0;//记录移动的次数 void hanoi(int n,char a,char b,char c) //n个盘子，a移动到c，用b做临时塔 { if (1 == n) { cout<<"第"<<++count<<"次: "<<a<<"塔--->"<<c<<"塔"<<endl; } else { hanoi(n-1,a,c,b);//递归调用，a移到b,c做临时塔 cout<<"第"<<++count<<"次: "<<a<<"塔--->"<<c<<"塔"<<endl; hanoi(n-1,b,a,c); } } int main() { int n; cout<<"输入汉诺塔圆盘的数量： "; cin>>n; hanoi(n,'A','B','C'); return 0; }
案例4：分鱼问题
问题描述：
A、B、C、D、E这5个人合伙夜间捕鱼，凌晨时都已经疲惫不堪，于是各自在河边的树丛中找地方睡着了。第二天日上三竿时，A第一个醒来，他将鱼平分为5份，把多余的一条扔回河中，然后拿着自己的一份回家去了；B第二个醒来，但不知道A已经拿走了一份鱼，于是他将剩下的鱼平分为5份，扔掉多余的一条，然后只拿走了自己的一份；接着C、D、E依次醒来，也都按同样的办法分鱼。问这5人至少合伙捕到多少条鱼？每个人醒来后所看到的鱼是多少条？
问题分析
假设5个人合伙捕了x条鱼，则“A第一个醒来，他将鱼平分为5份，把多余的一条扔回河中，然后拿着自己的一份回家去了”之后，还剩下4(x-1)/5条鱼。 这里实际包含了一个隐含条件：假设Xn为第n(n=1、2、3、4、5)个人分鱼前鱼的总数，则(Xn-1)/5必须为正整数，否则不合题意。（Xn-1)/5为正整数即(X〜l)mod5=0必须成立。 根据题意，应该有下面等式： X4=4(X5-1)/5 X3=4(X4-1)/5 X2-4(X3-1)/5 X1=4(X2-1)/5
#include<iostream> using namespace std; int fish(int n, int x) { if((x-1)%5 == 0) { if(n == 1) return 1; else return fish(n-1, (x-1)/5*4); } return 0; //x不是符合题意的解，返回0 } int main() { int i=0, flag=0, x; do { i=i+1; x=i*5+1; //x最小值为6，以后每次增加5 if(fish(5, x)) //将x传入分鱼递归函数进行检验 { flag=1; //找到第一个符合题意的x则置标志位为1 cout<<"五个人合伙捕到的鱼总数为"<<x; } } while(!flag); //未找到符合题意的x，继续循环，否则退出循环 return 0; }
