数塔问题
[问题描述]从数塔的顶层出发，在每一个结点可以选择向左走或向右走，直走到最底层，要求找出一条路径，使得路径上的数值和最大。
问题分析：要求出路径上的数值和最大，只需求出“8"左边(12)和右边(15)的数塔谁最大即可。
左边(12)
要求12这个数塔的路径上的数值和最大，只需求出“12"左边(3)和右边(9)的数塔谁最大
要求3这个数塔的路径上的数值和最大，只需求出“3"左边(8)和右边(10)的数塔谁最大
要求9这个数塔的路径上的数值和最大，只需求出”9"左边(10)和右边(5)的数塔谁最大
........................................................等等等
右边(15)
要求15这个数塔的路径上的数值和最大，只需求出“15"左边(9)和右边(6)的数塔谁最大
要求9这个数塔的路径上的数值和最大，只需求出“9"左边(10)和右边(5)的数塔谁最大
要求6这个数塔的路径上的数值和最大，只需求出”6"左边(5)和右边(12)的数塔谁最大
........................................................等等等
可以看出：动态规划算法的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。
我们的解题思路：先求子问题，也就是先求出底层的最大值，例如：先求出第4层各数的路径最大值（这里因为第4层是最底层，也就是它本身），然后第3层通过判断自己下面层数的左边和右边（第4层，例如8下面的 16（左）和4（右））谁更大，从而求出第3层各数路径的最大值，有点抽象，给大家一张图来解释一下：
我们从最底下开始看，因为第4层是最底层，所以最大值为它本身，也就是图中的初始化。
分别为16 4 18 10 9。再看第3层，8的左边分别为16和4，因为16最大 故此 以8为根的这个数塔路径最大值为24，同理 以10为根的这个数塔路径最大值为28，以5为根的这个数塔路径最大值为23，以12为根的这个数塔路径最大值为22。以此类推，求出了路径上的数值和最大为60
开始写代码：
首先数塔我们用二维数组存储
public class TTT { public static void main(String[] args) { int[][] d=new int[5][5]; d[0][0]=8; d[1][0]=12; d[2][0]=3; d[3][0]=8; d[4][0]=16; d[1][1]=15; d[2][1]=9; d[3][1]=10; d[4][1]=4; d[2][2]=6; d[3][2]=5; d[4][2]=18; d[3][3]=12; d[4][3]=10; d[4][4]=9; //遍历二维数组 int cnt=0; for (int[] row : d) { cnt=0; for (int data : row) { cnt++; System.out.printf("%d\t", data); //当输出的数字等于数组长度时,换行 if (cnt==d.length){ System.out.println(); } } } } }
分析：
d[i][j]=Math.max(d[i+1][j]+d[i][j],d[i+1][j+1]+d[i][j]);
表示这个数下面的两个数和自身相加 取一个最大的。
例如：
以8为例
d[i][j]=Math.max(d[i+1][j]+d[i][j],d[i+1][j+1]+d[i][j]);
d[i][j]=Math.max(16+8,4+8)=24
for (int i= d.length-2;i>0;i--){ for (int j=0;j<=i;j++){ d[i][j]=Math.max(d[i+1][j]+d[i][j],d[i+1][j+1]+d[i][j]); // System.out.println(d[i][j]); } } System.out.println(Math.max(d[1][0] + d[0][0], d[1][1] + d[0][0]));
因为一开始我们是以倒数第二层的 8 先开始的
所以一开始
i=d.leng-2(也就是8的行数位置索引)
j=0(也就是8的列数位置索引)
完整代码：
public class CountingTower { public static void main(String[] args) { int[][] d=new int[5][5]; d[0][0]=8; d[1][0]=12; d[2][0]=3; d[3][0]=8; d[4][0]=16; d[1][1]=15; d[2][1]=9; d[3][1]=10; d[4][1]=4; d[2][2]=6; d[3][2]=5; d[4][2]=18; d[3][3]=12; d[4][3]=10; d[4][4]=9; //遍历二维数组 int cnt=0; for (int[] row : d) { cnt=0; for (int data : row) { cnt++; System.out.printf("%d\t", data); //当输出的数字等于数组长度时,换行 if (cnt==d.length){ System.out.println(); } } } for (int i= d.length-2;i>0;i--){ for (int j=0;j<=i;j++){ d[i][j]=Math.max(d[i+1][j]+d[i][j],d[i+1][j+1]+d[i][j]); // System.out.println(d[i][j]); } } System.out.println(Math.max(d[1][0] + d[0][0], d[1][1] + d[0][0])); } }
